Je dois résoudre l’exercice ci-dessous. Cet exercice est issu du chapitre PGCD du programme de Terminale en Maths Expertes.
J’ai réussi à répondre aux questions 1.a)b)c) et 2.a) (en rouge) mais je suis en difficulté pour répondre aux deux dernières questions.
Merci d’avance pour votre retour
Sujet :
On souhaite chiffrer un texte en français avec des accents, ce qui donne un alphabet à 35 lettres. Chaque lettre est alors associée à un entier entre 0 et 34.
1. On choisit la fonction de chiffrement affine f(x)=10x+3 qui, à tout entier x ∈ {O ; … ;34} associe l’entier y ∈ {O ; … ;34} tel que y≡10x+3[35]
a) Soit y ∈ {O ; … ;34}. Monter que si y≡10x+3[35], alors il existe k ∈ Z tel que 10x + 35k=y-3.
35 | y-10x +3 ⇒ il existe k ∈ R tel que 35k=y-10x+3 ⇔ 10x + 35k = y – 3 ⇔ 5(2x+7k) = y – 3
b) Pour quelles valeurs de y cette équation admet-elle des solutions entières ?
Il faut que 5 | y – 3 et donc que y≡3[5]
c) Que peut-on en déduire pour cette fonction de chiffrement ?
A un nombre x, la fonction associe y dont la division euclidienne par 35 a pour reste 10x-3.
2. On choisit la fonction de chiffrement affine g(x)=8x+5[35] qui, à tout entier x∈{O ; … ;34} tel que y≡8x+5[35].
a) Justifier qu’il existe a∈Z tel que 8a≡1[35] puis déterminer un tel entier.
8a≡1[35] ⇒ 35 | 8a-1. On a donc 8a-1=35b
D’après le théorème de Bézout, comme 8 et 35 sont premiers entre eux, 8a – 35b =1 admet deux solutions entières.
35=4x8+3 ⇔ 3=35 – 4x8
8=2x3+2 ⇔ 2=8 - 2x3
3=2x1+1 ⇔ 1=3 – 2x1
Ainsi, 1=35-4x8-8+2x(35-4x8) = 35-5x8+2x35-8x8 = 3x35-13x8 donc a=-13
b) En déduire que, pour tout y∈ {O ; … ;34}, l’équation y≡8x+5[35] admet une unique solution x ∈ {O ; … ;34} et écrire la fonction de décodage permettant de la déterminer.
c) Quel est l’entier qui est chiffré par 9 avec cette fonction de chiffrement