Pgcd

par **alexjo59** » 15 Jan 2006, 17:45

[FONT=Comic Sans MS]J'ai une petite démonstration à faire mais je n'y parviens pas alors est-ce que quelqu'un pourrais me donner une piste?
Dans l'exercice x est inférieur à y
S est l'ensemble des couples (x,y) tels que PGCD (x,y) = y - x
la question est : montrer (dans les 2 sens) que (x,y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k (y - x) et y = (k + 1) (y - x)
merci d'avance pour votre aide[/FONT]

par **oGGo** » 15 Jan 2006, 18:05

alexjo59 a écrit:[FONT=Comic Sans MS]J'ai une petite démonstration à faire mais je n'y parviens pas alors est-ce que quelqu'un pourrais me donner une piste?
Dans l'exercice x est inférieur à y
S est l'ensemble des couples (x,y) tels que PGCD (x,y) = y - x
la question est : montrer (dans les 2 sens) que (x,y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k (y - x) et y = (k + 1) (y - x)
merci d'avance pour votre aide[/FONT]

je m'y colle

par **alexjo59** » 15 Jan 2006, 18:16

merci beaucoup

par **oGGo** » 15 Jan 2006, 18:20

oGGo a écrit:je m'y colle

pr le =>)
pgcd(x,y) = y-x
donc il existe k tq x/(y-x)=k par définition
et tjrs par déf il existe k' tq y/(y-x)=k'.
Maintenant il faut essayer de remplacer k' par qqchose en fct de k, a savoir k+1.
essaye de trouver l'astuce !!
pr le <=)
il existe un entier naturel k non nul tel que x = k (y - x) et y = (k + 1) (y - x)
donc y-x divise x
y-x divise y
donc y-x est un diviseur de x et y
il ne reste plus qu'a montrer que y-x est le "plus grand" diviseur commun a x et y.
essaye de trouver l'astuce également !!
bon courage :++:

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