PGCD TS spé maths question sur un type exercice.

[invite123]

Bonjour, il y a un élément de correction que je ne comprend pas dans un type d'exercice sur les PGCD en spé maths.

Il s'agit du type d'exercices où l'on demande de déterminer le PGCD d'expressions avec des n entiers naturels non nuls ; par exemple :
1/ Déterminer PGCD(2n+1;3n+1)
2/ En déduire PGCD(2n²+3n+1;3n²+4n+1)

Voici rapidement ce que j'ai fais avant de regarder la correction :

1/ d=PGCD divise 2n+1 et 3n+1 et donc divise 3*(2n+1) - 2*(3n+1) = 1 ; donc d=1.
2/ PGCD(2n²+3n+1;3n²+4n+1)=PGCD( (2n+1)*(n+1) ; (3n+1)*(n+1)) = d * n+1 = n+1

Or dans la correction on envisage à chaque fois deux cas séparément : n = 1 ou n > 1, dans 1/ on a PGCD=1 dans les deux cas et dans 2/, on a : si n=1 alors PGCD=2 et si n>1 alors PGCD=n+1 (ce qui revient au même).


Pourquoi envisager ces deux cas ?

Faut-il envisager à chaque fois ces deux cas séparément ?
Faut-il le faire dans 1/ et 2/ ?
Les deux cas à séparer seront toujours n=1 et n>1 ?


Merci.

[invite123]

Et une dernière question rajoutée :
Est-il possible d'avoir faux si on envisage pas les deux cas ? (dans mon exemple je n'ai pas faux mais y-a-t-il des exemples où ne pas séparer les deux cas fait manquer une partie du résultat ?)