PGCD - exercice 2

[Gege29]

Bonjour,
Second exercice sur les PGCD que je n'arrive pas à résoudre. Le théorème de Bézout semble la clef, mais je ne sais pas par quel bout le prendre
On considère deux entiers naturels a et b premiers entre eux. Il existe donc un couple (u , v) d'entiers relatifs tels que : au + bv =1
Le but de l'exercice est de démontrer que, si c désigne un autre entier naturel non nul, a et c d'une part , a et bc d'autres part, ont même pgcd.
Pour cela on pose : a ^ c = d et a ^ bc = e
1- Montrer que d divise e
2- Montrer que e divise c, puis que e divise d.
Conclure.
A nouveau, merci d'avance pour votre aide.

[catamat]

Bonjour

L'égalité de Bezout s'utilise au début du 2°.
On a au + bv =1
donc en multipliant par cles deux membres
auc + bcv =c

Cela permet de conclure que "e divise c"

[Gege29]

J'avoue que j'ai du mal à comprendre.

[catamat]

e est un diviseur de a et de bc par hypothèse donc e divise auc et divise bcv donc divise leur somme qui est c

[Gege29]

Merci, très clair là !
Je fais de même pour e qui divise d. Et la conclusion est évidente : d divise e, e divise d donc d=e.
Pour le 1) je pense que c'est ainsi :
* d divise a et c donc d divise ac et bc
* e divise a et bc
=> donc d divise e puisqu'il divise a et bc

[catamat]

Revoir le 1 comme suit

* d divise a et c donc d divise a et bc donc d divise le PGCD de a et bc c'est à dire e

Car les diviseurs communs de deux entiers sont les diviseurs de leur PCGD

[Gege29]

Merci pour la précision.
J'ai tout compris et tout fait !
Merci beaucoup à nouveau.