PGCD - divisions euclidiennes

[tnaidu]

n est un entier relatif quelconque; a=n^3-2n+5 b=n+1

1) vérifier que pour tout entier relatif n : a=(n²-n-1)b+6

2) Démontrer que PGCD(a;b)=PGCD(b;6)
3) Pour quelles valeurs de n, a-t-on PGCD (a;b)=3 ?
4) déterminez n pour que le nombre a/b soit un entier relatif

Donc pour la 1) je suppose qu'il faut factoriser et essayer de trouver n+1 dans l'expression de a
pour le deux il faut utiliser la division euclidienne, car si a= bq +r alors pgcd(a;b)=pgcd(b;r) peut -être faut il aussi utiliser les congruences ?

[Ericovitchi]

Donc pour la 1) je suppose qu'il faut factoriser et essayer de trouver n+1 dans l'expression de a

Ou plus simple, faire le contraire. c.a.d développer (n²-n-1)(n+1)+6 et montrer que l'on retombe sur a

Pour la 2), à partir de a=(n²-n-1)b+6 ou a-(n²-n-1)b= 6 on peut dire qu'un nombre qui divise a et b divise le membre de gauche donc divise aussi le membre de droite.
(Ou bien directement par l'algorithme d'Euclide à partir de a=(n²-n-1)b+6 on peut dire que PGCD(a;b)=PGCD(b;6) )

PGCD (a;b)=3 --> PGCD (n+1;6)=3 donc 3 divise n+1 --> n+1=3k mais k est premier avec 2 donc impair donc n+1=3(2k'+1) --> n=6k'+2

a/b entier relatif ssi n+1 divise 6, etc...