Un peu d'histoire autour de V2 et son irrationalité

[kass936]

Bonjour

J'ai un devoir a faire pour les vacance mais je n'y arrive vraiment pas
Le voici

1 .Il y a plus de 2000 ans , les grecs posèrent le problème suivant : " A partir d'un carré de coté 1 unité dont l'aire est 1 unité d'aire ,
comment construire a la règle et au compas un carré d'aire double , soit 2 unités d'aire ? "

Pour y répondre :

a ) Construire un carré de coté 1 ( unité graphique : 5 cm ) Doubler on coté . Quelle est l'aire du carré obtenu ?

B ) Comment " partager en 2 ce nouveau carré pour obtenir le carré chercher d'aire 2 ?

2. Pour exprimer V2 les Babyloniens écrivaient ( 1 ; 25 ) qui ,dans leur système sexagésimal représentait le nombre 1+25/60
mais ( 1 ; 24 ;51;10) qui représentait le nombre 1 + 24/60 + 51/60²+ 10 /6000 .
Donner l'arrondi au millième de la première valeur et l'arrondi au millionième de la seconde .
Cette seconde valeur est-elle une valeur approchée à 10exposant -7 près de V2 ???

3. Supposons que V2 = a/b avec a et b deux entiers premiers entre eux .
a ) Montrer alors que a² est un nombre pair .
b ) Montrer que le carré de tout nombre impair est impair . En déduire que a est un nombre pair .
c)On écrit alors a=2p où p est un entier .
En déduire que b² est un nombre pair , et donc que b est pair .
d)En déduire que V2 n'est donc pas rationnel .

4. a) Montrer que l'équation x²= 2 est équivalente à l'équation x= 1 + 1/1+x

b) Dans le second membre en remplaçant x par 2 , on obtient
1 + 1/1+2
qui est une première approximation de V2 .
En remplaçant x dans le second membre par 1 + 1/1+x montrer que l'on obtient x =
1 +1/2+ 1/1+x(c'est une fraction 1 + 1 sur 2+1sur1+x )
Avec x=2 , on obtient une valeur approcher de V2 .
Laquelle ?
c)Par le même procédé , obtenir la fraction suivante . Quelle est - elle ?
d) Et en utilisant 3 a la place de 2 comme première valeur de x , quelles sont les trois fractions obtenues ?
e) Quelles sont les valeurs approchées a 10 exposant - 1 près de V2 parmi ces 3 fraction ? Et a 10 exposant - 2 près ?

Merci beaucoup pour votre aide !!!

[Florélianne]

[font=Arial]1 .Il y a plus de 2000 ans , les grecs posèrent le problème suivant : " A partir d'un carré de coté 1 unité dont l'aire est 1 unité d'aire ,
comment construire a la règle et au compas un carré d'aire double , soit 2 unités d'aire ? "
Pour y répondre :
a ) Construire un carré de coté 1 ( unité graphique : 5 cm ) Doubler on coté . Quelle est l'aire du carré obtenu ?
[/font][font=Arial][color=Black]le côté du nouveau carré est 2x1 = 2
son aire est 2² = 4
[/color][/font][font=Arial] B ) Comment " partager en 2 ce nouveau carré pour obtenir le carré cherché d'aire 2 ?
[/font][font=Arial]Pour obtenir un carré d'aire 2[/font][font=Arial],[/font][font=Arial] il faut que le côté [/font][font=Arial]mesure a , avec a² = 2
donc a = V2[/font][font=Arial]
[/font][font=Arial]étudions le carré[/font][font=Arial]le carré de côté 1[/font][font=Arial], [/font][font=Arial]traçons [/font][font=Arial][color=Black]la diagonale partant du sommet commun aux deux carrés. Elle partage le premier carré en deux triangles rectangles isocèles superposables (c'est un axe de symétrie du carré)
Appelons d la longueur de cette diagonale.
Utilisons le théorème de Pythagore dans un de ces triangles isocèles rectangles, on obtient :
1²+1² = d²
1+1=d²
d²=2 donc d = V2
pour tracer le carré d'aire 2, il suffit de :
- placer la pointe sèche du compas sur le sommet commun aux carrés,
- prendre l'écartement correspondant à la longueur de la diagonale,
- tracer deux arcs de cercle sur les côtés du grand carré
En partant de ces points, construire le losange
L'aire du carré obtenu est 2
Ceci règle la première partie : chez les grecs...
On verra pour la suite...
Bonne soirée
[/color][/font]

[leon1789]

3. Supposons que V2 = a/b avec a et b deux entiers premiers entre eux .
a ) Montrer alors que a² est un nombre pair .
b ) Montrer que le carré de tout nombre impair est impair . En déduire que a est un nombre pair .
c)On écrit alors a=2p où p est un entier .
En déduire que b² est un nombre pair , et donc que b est pair .
d)En déduire que V2 n'est donc pas rationnel .

un topic dans lequel tu trouveras les réponses à ces questions : http://maths-forum.com/showthread.php?t=72163

[kass936]

Merci beaucoup :we: maintenat j'ai compris :happy2: