Un peu d'aide SVP :) (vecteurs)

[arnaud4000]

Bonjour, je galère actuellement avec le problème de maths suivant concernant les vecteurs :

On considère un triangle ABC avec AB=5 cm et AC=9 cm
1.Construire le point C' tel que CC'(vecteur)=4/5BA(vecteur).
2.Soit B' le point tel que 4B'A(vecteur)+5B'C(vecteur)=0(vecteur).
3.Exprimer le vecteur BB' en fonction des vecteurs AB et AC.
4.Même question pour le vecteur BC'.
5.Que peut-on déduire pour les points B,B'et C'?
6.Par C', on trace la parallèle à (BC); elle coupe (AB) en A'.
**a)Montrer que AA'(vecteur) et CC'(vecteur) sont colinéairesen calculant le réel ktel que AA'=kCC'.
**b)Exprimer A'B'(vecteur) puis AC'(vecteur) en fonction de AB(vecteur) et AC(vecteur).
**c)Les droites (A'B') et (AC')sont-elles parallèles?

Merci d'avance.

[C.Ret]

Bonsoir,

Si tu as fait les questions 5) et 6.a), c'est que tu as su placer les points C' et B'.
Dans ce cas, je ne comprends pas en quoi on peut t'aider pour les questions 1), 2).
Tu as dû faire un dessein ou un shéma ? Quels sont tes résultats ? Ou sont les points C' et B' ?

J'imagine qu'il n'y a que les questions 3) et 4) qui posent problème ?

[arnaud4000]

Je me suis trompé en lisant ma feuille je n'ai effectivement réussi aucune des questions de cet exercice (donc ni la 5 ni la 6a je m'etais trompéde champ de réponse en écrivant pour un autre exercice.
J'ai donc toujours besoin d'aide :)

[C.Ret]

Ok, Arnaud.

Sur ce type d'excercice, le mieux est de commencer par un dessein.
On commence donc par tracer le triangle demandé, puis on cherchera à placer le point C'.




Le point C' est à placer de façon à définir le vecteur .

Y-a-t-il jusque là un ou plusieurs point(s) qui pose(nt) problème ?

[arnaud4000]

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt.
J'ai réussi de mon côté la question 1 de cet exercice et j'ai trouvé
9/5AB'(vecteur) = AC(vecteur)
Est-ce la bonne réponse ?
J'ai donc réussi à placer le point B' sur la figure.

[C.Ret]

Pas de problème avec les temps de réponse, c'est l'avantage du forum de pouvoir poster en différé.


Très bien, donc, où est ce point B' ? Est-il à un endroit particulier ?

[arnaud4000]

À 5 cm ers la droite en partant du point A, placé de manière à être aligné avec le point B et le point C'

Meri encore et pour info je dois avoir fini dans deux heures max.

[C.Ret]

Oui, c'est bien cela.

Le point B' est sur le segment AC à 5 cm de A et 4 cm de C.

Remarque que la notion de droite ou de gauche n'a pas de sens. Comme la position des points C' et B' est définie à partir de vecteurs, il suffit de déplacer B ou C pour que la figure se transforme. Et donc à droite ou à gauche n'a de sens que si l'on considère la figure de mon post précèdent.

Car, la figue ci-dessous est elle aussi correcte, mais le point B' apparait à gauche de A !




Il nous est demandé d'exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .

(Sous entendu, uniquemetn à partir de ces deux vecteur).

As-tu avancé dans cette question ?

[arnaud4000]

Non, je bloque justement dessus

[C.Ret]

OK.

Alors, comme on a aps d'indice, le mieux est de commencer par décomposer logiquement.

On considère B'B et on essaye de le décomposer à partir des vecteurs et points que l'on a sur la figure.
En général, une décomposition consiste à partir du premier point du vecteur, de faire un tour et de revenir au second point.



ici c'est simple je pars de B' vers A puis de A vers B.



Tiens, j'ai déjà dans mon expression le vecteur

Voyons si l'on peut faire apparaitre le vecteur à partir de

As-t-tu une idée ? Sachant que l'on a montré à la question 2) que B' est sur le segment (AC) et à 5 cm de A !

[arnaud4000]

Après 20 min je vois pas comment faire apparaitre AC non...

[C.Ret]

Pourtant, le moyen utilise les mêmes notions que celle qui t'ont permis de placer B' sur la droite (AC).

Comment as-tu déterminé que B' est sur la droite (AC) et sur le segment [AC] à 5 cm de A ?

Par aileurs, si l'on considère les vecteurs et comment peut-on les qualifier l'un par rapport à l'autre ? (C'est à dire comment sont-ils l'un par rapport à l'autre ?).

[arnaud4000]

B'B = 5/9AC + AB alors ?

[C.Ret]

B'B = 5/9AC + AB alors ?

Oui, mais peux-tu m'expliquer pourquoi ?
Et par la même occasion répondre à ma précèdente question.

[arnaud4000]

D'après la question 2, on sait que AB' = 5/4 de AC puisque B' est à 5 cm de A et que AC fait 9cm
Pour déterminer que B' est sur la droite AC, j'ai établi la relation AB' + B'C = AC

[arnaud4000]

J'avoue que la question 4 me semble encore plusdifficile car C' est en dehors du triangle ABC ce qui complique singulièrement les choses à me yeux

[C.Ret]

Oui, c'est à peu près cela.
Mais c'est plus clair si l'on remet les choses dans l'ordre.

On sait que B' est placé de façon à ce que

On peut donc écrire :

Ce qui prouve que les vecteurs et sont colinéaires.
(C'est ça la notion que j'attendais, et c'est d'ailleurs la notion de base de cet excercice.)

Donc et sont colinéaires, mais de sens opposés.
Deux vecteurs colinéaires ont même direction.
Hors et ont tous les deux comme origine le point B'.
Comme ils sont colinéaires, cela signifie qu'ils sont porté par la même droite. En l'occurance la droite (AC).
En conséquence, le point B' est un point de la droite (AC).

Pour savoir où se situe le point B' sur cette droite (AC), on considère comme tu l'as très bien fait les amplitudes (normes est peut-être le terme plus adapté ici):

Comme, les deux vecteurs sont colinéaires à la droite (AC), on peut par projection sur celle-ci déduire que :
soit algébraiquement sur lad roite (AC) : soit

Par ailleurs, comme B' appartient à la droite (AC), on déduit donc par décomposition et projection sur cette même droite :


De ces deux équation algébriques, on en déduit que B' est sur sur le segment [AC] à une distance AB'=5 cm du point A.


Pour la réponse 3), on utilise les mêmes expressions pour obtenir l'expression de \vec{AB'} en fonction de \vec{AC}:





D'où,

J'avoue que la question 4 me semble encore plusdifficile car C' est en dehors du triangle ABC ce qui complique singulièrement les choses à me yeux

Pour la question 4), ce n’est pas plus compliqué.

On commence par décomposer le vecteur de la même façon, on part du point B et on parcours les vecteurs connus de façon à arriver au point final C'.

J’ai marqué les vecteurs sur la figure ci-dessus.



Tiens, bonne surprise, il y a déjà dans cette expression les vecteurs et .

A toi de continuer en cherchant à faire disparaitre .

[arnaud4000]

Je ne peux plus attendre, désolé mais je ne trouve pas et je dois finir en urgence pourrais tu me poster la réponse stp ?

[C.Ret]

Faisons vite:

4)

Onfait disparaitre de l'expression en utilisant la relation de l'énoncée.
On trouve alors


5.)
Les points B, B' et C' sont alignés.

Je l'ai démontré en trouvant une relation comme celle de la question 2) :

Mais on peut en trouver une autre, liant par exemple directemetn et

6.) a)
J'ai trouve que
Ce qui effectivement prouve que les vecteurs sont colinéaires, mais de sens opposés.

b) En décomposant de la même manière que pour les vecteurs précédents

et


c)Les droites (A'B') et (AC') ne sont pas parallèles?
Je n'est pas trouvé de rationel q et r tels que l'on obtienne: