Petits exercices sur les complexes...

[Neoscript47]

Bonjour à tous !
Sans plus tarder, je vous expose mes problèmes :

I) x, y, z étant des nombres complexes de module égal à 1, prouver que les nombres x+y+z et xy+yz+xz ont même module.

II)Prouver que si |x|=1 et |y|=1 alors Z = (x+y) / (1+xy) est réel !

Voila, si vous pouviez me donner quelques pistes afin de m'aider... je précise que je suis en Terminale S !

[Neoscript47]

Petit "up" !
Personne n'aime les complexes ou quoi ? :ptdr:

[hugues2000]

bonsoir,
pas d'indication pour le I mais il y a une erreur dans le II: manifestement, pour x=y=i, l'expression (x+y)/(x+y+1) n'est pas réelle. en fait la bonne expression est probablement (x+y)/(1+xy). pour démontrer que cette expression est réelle quand x et y sont des nombres complexes, on utilise la caractérisation des réels suivantes: un réel est un complexe qui est égal à son propre conjugué. Et comme les nombres x et y sont de module 1, leurs conjugués sont égal à leur inverses. Il suffit donc de calculer le conjugué de (x+y)/(1+xy) en remplaçant le conjugué de x par 1/x et le conjugué de y par 1/y pour obtenir l'expression de départ et montrer ainsi que sa valeur est réelle.

[Neoscript47]

Ah oui effectivement, petite erreur de ma part :) C'est bien ça, j'ai corrigé !
Et merci, tout devient plus clair dans ma tête :)

[Neoscript47]

Je me permet de relancer la discussion sur le première exercice que j'ai vraiment du mal à comprendre !
Merci d'avance

[Imod]

Il suffit de calculer : et .

Imod