Petites questions...

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 17:15

Pour vous exposer la chose : depuis plusieurs jours on planche avec des copains sur un DM de 2nde... 2 exercices nous posent problème :

Ex1 :

Nous savons que 0<a<b
Comparez 4 nombres : a ; (a+b)/2 ; b ;

ab ;
Nous avons trouvé : a <

ab < (a+b)/2 < b... mais nous n'arrivons pas a le prouver :triste:

Ex 2

On veut partager un disque en 8 surfaces dont les aires sont égales ainsi que le montre le schema suivant :

Trouver la relation liant le rayon r du petit disque et la largeur l de la couronne pour que ce partage...

La réponse que j'ai trouvé :
pir² = pi((r+l)²-r²)
r² = (r+l)²-r²)
r² = r²+l²+2rl-r²
r² = l²+2rl

Mais ce qui me gêne c'est la présence du "r" des 2 côtés...

Voila, je poste ce problème après une longue réflexion et surtout parce que j'aimerai comprendre la solution !!!

Merci d'avance

par **matthieu45** » 05 Nov 2006, 17:27

bonjour
pour l'exo 1, tu as atu multiplies par racine(a) l'inégalité, et tu trouves racine(a)*racine(a)soit a
ensuite : pour montrer que racine(ab)<(a+b)/2
tu peux tout multiplier par 2 : 2*racine(a*b)<(a+b)
puis tu élèves au carré : 4*a*b<(a+b)²
avec (a+b)²=a²+b²+2ab (égalité remarquable)
d'ou 4abce qui s'écrit aussi (en faisant passer le 4ab à droite) : 0et là tu reconnais l'égalité remarquable a²+b²-2ab=(a-b)² qui est forcément positif, puisque c'est un carré, donc tu as finis la démonstration.

enfin, pour montrer que (a+b)/2tu as aet tu multiplies par 1/2, et c'est fini.

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 17:28

Je ne te parle que du 1 pour l'instant:
a<b donc a+b<2b en ajoutant b des 2 côtés
Donc (a+b)/2 < b ok?

De plus a<b donc 2a<a+b en ajoutant a des 2 côtés
Donc a< (a+b)/2 ok?

Il reste à introduire

Alors: a<b
donc ab <b²
et

< b

De même, a<b
Donc a²<ab
donc a<

Et voilà ! C'est clair ?

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 17:31

Oups il faut prendre en compte l'ordonnement de

et de (a+b)/2

Alors là on utilise Pythagore :
(a-b)² = a²+b²-2ab >0
Donc a²+b²+2ab-4ab > 0 (je reconnais il faut y penser)
Donc a²+b²+2ab > 4ab
Donc (a+b)² > 4ab
et (a+b)²/4 > ab

donc, en passant à la racine (a+b)/2 >

C'est bon ?

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 17:33

Merci beaucoup pour les réponses :we:
@Matthieu45 : je ne pensais pas qu'on pouvait élever au carré chaque membre d'une équation, étant donné qu'on ne multiplie pas par le même nombre de chaque côté ^^

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 17:35

Alors oui, c'est une bonne remarque, mais ca reste vrai quand on multiplie chaque côté par un même nombre > 0.

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 17:37

Pardon, je dis n'importe quoi lol, c'est lié à la croissance de la fonction x² pour les x positifs.
Si x>y>0, alors x²>y²

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 17:37

Mais justement dans ce cas la on ne multiplie pas par le même nombre de chaque côté non?

edit : apres avoir lu la réponse :

OK :)

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 17:56

Et pour l'exercice 2 vous pensez que ma solution est juste ?? ( moi non alors :ptdr: )

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 18:01

Es-tu ok pour dire qu'il suffit de trouver l et r tels que l'aire de la couronne soit égale à l'aire grise? Puisque après on divise en 4 ces deux aires, et c'est bon.

Oui?

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 18:05

Perso ca ne me dérange pas mais est-ce bien une relation?

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 18:06

lol, non mais je te demande pas si ca entre en contradiction avec tes principes politiques, je te demande si tu trouves ça logique, si tu comprends.

Parce que oui, c'est un résultat exact.
Mais c'est pour t'explquer le déroulement du raisonnemnt.

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 18:08

:ptdr: OK lol
Je suis bien ton raisonnement alors :)

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 18:17

Mais alors justement, il nous faudrait les "r" d'un côté et les "l" de l'autre non?

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 18:27

Ok, donc je vais noter S l'aire du disque tout entier, C l'aire de la couronne et G l'aire du disque gris ok?

Donc on a: S = pi*(l+r)²
G = pi r²
et donc C = S-G = pi*(l+r)² - pi*r² = pi*[(l+r)² - r²)

Tu me suis jusque là ?

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 18:30

Mais en fait je lis ce que tu as écrit, et c'est très bien.
lol
J'avais pas vu, mais c'est exactement ça.

Donc il reste à résoudre...

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 18:32

OK merci pour tout :)

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 18:34

Pour résoudre: tu as (l+r)² = 2r²
donc tu peux passer à la racine des 2 côtés:
l+r = r *

Donc l = r (

-1)

par **Asimov** » 05 Nov 2006, 18:42

OK j'ai compris !!
Merci pour tout, c'est vrai que je n'ai pas l'habitude d'utiliser les carrés et les racines carrées dans une équation.... maintenant j'y penserai !

Encore merci :)

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