Petites question

[Trident]

Bonjour.

Si on a :

x = y . Cela est-il équivalent à x² = y² ou encore x^3 = y^3 ou pour x et y positif Racine de x = racine de y ?

De manière général, peut-on appliquer des fonctions à une égalité sans que cette égalité soit "faussée" ?
Bon, ma question est un peu bête mais je pense que oui.

Donc c'est justement pour une application :

Démontrez que si a et b sont premiers entre eux alors a² et b² le sont aussi.

a et b premiers entre eux <==> Il existe u et v dans Z tel que au +bv = 1 d'après Bezout.

On veut montrer que a² K + b² K ' = 1 avec K et K' dans Z.

au + bv = 1 <==> (au+bv)² = 1² <==> a²u² + 2aubv + b²v² = 1 <==> a² (u²+2ubv) + b² (v²) = 1.

CQFD.
Donc c'est bon là ?

_________________________________


Autre question :

Soit x et y deux entiers premiers entre eux. Montrer que x et (x+y) sont premiers entre eux.

J'ai fait comme ça, est-ce juste ?

Si d / x et d/ y alors comme x et y sont premiers entre eux d =1 ou d = - 1.

d / x et d / y donc d divise toutes combinaisons linéaires de x et y donc d / x+y .

Par hypothèse, d/ x et là on a montré que d/ x+y

Comme d = 1, alors le diviseur commun de x et (x+y) vaut 1. Donc x et (x+y) sont premiers entre eux.

Mais j'ai l'impression que je n'ai pas démontré que 1 était le seul diviseur ? :mur:

[Nightmare]

Bonjour.

Si on a :

x = y . Cela est-il équivalent à x² = y² ou encore x^3 = y^3 ou pour x et y positif Racine de x = racine de y ?

De manière général, peut-on appliquer des fonctions à une égalité sans que cette égalité soit "faussée" ?
Bon, ma question est un peu bête mais je pense que oui.

Si x = y, il est évident que toutes les opérations qu'on fait subir à x donne la même chose si on les fait subir à y puisque x et y sont le même objet ! Par contre, il est faux de dire que x=y est équivalent à x²=y² ou encore x^3 = y^3 blablabla, parce que le sens inverse n'est pas forcément vrai, à savoir par exemple que si x²=y² alors on a pas nécessairement x=y ( (-1)²=1² ).

Donc c'est justement pour une application :

Démontrez que si a et b sont premiers entre eux alors a² et b² le sont aussi.

a et b premiers entre eux Il existe u et v dans Z tel que au +bv = 1 d'après Bezout.

On veut montrer que a² K + b² K ' = 1 avec K et K' dans Z.

au + bv = 1 (au+bv)² = 1² a²u² + 2aubv + b²v² = 1 a² (u²+2ubv) + b² (v²) = 1.

CQFD.
Donc c'est bon là ?

Je ne comprends pas ta factorisation par a² !


La suite, c'est un peu du grand n'importe quoi :lol3:

Si d / x et d/ y alors comme x et y sont premiers entre eux d =1 ou d = - 1.

Ca c'est juste.

d / x et d / y donc d divise toutes combinaisons linéaires de x et y donc d / x+y .

Par hypothèse, d/ x et là on a montré que d/ x+y


Comme d = 1, alors le diviseur commun de x et (x+y) vaut 1. Donc x et (x+y) sont premiers entre eux.

qui est d?

[Trident]

Merci pour la réponse rapide.

Je me suis trompé pour a en facteur :S .

Si on essaie le cube, ça doit marcher et on doit pouvoir factoriser par a² et b² ?



Ensuite d est toujours le même soit un diviseur commun à x et à (x+y).

[Nightmare]

"d est toujours le même" ce n'est pas le même que le d de la phrase d'avant "si d|x et d|y alors...".

ici, l'hypothèse à prendre, c'est que d|x et d|(x+y), et montrer qu'alors, par combinaison linéaire, on a d|x et d|y, ie d=1 ou -1.

Pour le premier, élever au cube marche effectivement. :happy3:

[Trident]

C'est un peu flou..

On veut montrer que si x et y sont premiers entre eux alors ===> x et (x+y) le sont.

Comment le faire étape par étape s'il te plait ?

[Nightmare]

Tu as toutes les idées qu'il faut, mais il faut savoir les mettre dans le bon ordre pour que la démonstration ait un sens.
Pour ça, il faut bien se fixer à l'avance les hypothèses de notre démonstration et la conclusion à laquelle on veut arriver sous ces hypothèses.


Nous, on veut montrer x et (x+y) sont premiers entre eux sous hypothèse que x et y sont le sont. Tu l'as bien compris, une idée naturelle due à la définition de "premiers entre eux" est de considérer un diviseur commun à x et x+y et de montrer que c'est nécessairement 1 (ou -1).

Pour ça, tu l'as dit aussi, on sait que si un entier divise deux nombres, il va diviser toutes leurs combinaisons linéaires. Alors, si d est un diviseur commun à x et x+y, il divise aussi la combinaison (x+y)-x, c'est à dire y (c'est l'argument principal de la démonstration).

Or, par hypothèse x et y sont premiers entre eux, et comme d divise x et y, c'est forcément 1 ou -1, on a ce qu'on voulait.

[Trident]

Tu as toutes les idées qu'il faut, mais il faut savoir les mettre dans le bon ordre pour que la démonstration ait un sens.
Pour ça, il faut bien se fixer à l'avance les hypothèses de notre démonstration et la conclusion à laquelle on veut arriver sous ces hypothèses.


Nous, on veut montrer x et (x+y) sont premiers entre eux sous hypothèse que x et y sont le sont. Tu l'as bien compris, une idée naturelle due à la définition de "premiers entre eux" est de considérer un diviseur commun à x et x+y et de montrer que c'est nécessairement 1 (ou -1).

Pour ça, tu l'as dit aussi, on sait que si un entier divise deux nombres, il va diviser toutes leurs combinaisons linéaires. Alors, si d est un diviseur commun à x et x+y, il divise aussi la combinaison (x+y)-x, c'est à dire y (c'est l'argument principal de la démonstration).

Or, par hypothèse x et y sont premiers entre eux, et comme d divise x et y, c'est forcément 1 ou -1, on a ce qu'on voulait.

Ok merci. :we: