Petite question sur les polynomes 1ère S

[mafate]

bonjour j'ai un DM à faire pour lundi et j'ai presque terminé mais une question me bloque
voici l'énoncé
1) soit & un réel et P un polynome. Démonter que s'il existe un polynôme Q tel que pour tout réel x, P(x)=(x-&)Q(x), alors & racine du polynôme P(x)

donc ça c'est bon j'ai trouvé ensuite

2)le but de cette question est de démontrer que la proposition réciproque est vraie. on restreint la démonstration à un polynôme quelconque de degré 3. Soit
P(x)=ax^3+bx²+cx+d, ou a b c d sont des réels quelconques avec a différent de 0

a) énoncer la propriété réciproque
don j'ai trouvé
soit &un réel et P un plynôme. S'il existe une racine & du polynome P(x) tel que pour tout réel P(x)=(x-&)Q(x)
alors Q est un polynôme
b) soit u et t des réels quelconques développer (u-t)(u²+tu+t²)
donc je trouve u^3-t^3

et voila la fameuse question
démontrer que P(x)-P(&)=(x-&)R(x) ou R(x) est un polynôme dont on précisera le degré. conclure si & est une racine de P

merci merci beaucoup d'avance

[Ericovitchi]

tu écris P(x), tu écris P(&), tu regardes P(x)-P(&), tu t'aperçois évidemment que le terme constant s'en va et donc tu peux mettre (x-&) en facteur

[mafate]

je ne suis pas sure d'avoir compris peut me réexpliquer stp sinon je pense que P(&)=0 car & est une racine

[Ericovitchi]

Effectivement tu peux dire aussi
P(x)-P(&) est un polynôme, il s'annule pour x=& donc d'après les précédentes questions je peux mettre (x-&) en facteur et donc il existe R(x) tel que P(x)-P(&) = (x-&) R(x)

(attention, non & n'est pas racine de P donc P(&) n'est pas égal à zéro)

[mafate]

sauf que d'après notre prof il faudrait utiliser la question d'avant pour pouvoir résoudre et pourquoi & n'est pas racine de P c'est pourtant ce qu'il y a marqué dans l'énoncé (dsl mais je comprends vraiment pas )

[Ericovitchi]

non c'est marqué "conclure si & est une racine de P"

Effectivement si & est racine de P alors P(x)=(x-&)R(x) , on retombe sur la question 1

[mafate]

d'accord mais alors à quoi nous sert la question b

[mafate]

ah attends je crois que j'ai compris
on a P(x)-P(&)=ax^3+bx²+cx+d-a&^3-b&²-c&-d
ensuite on factorise
=a(x^3-&^3)-b(x²-&²)-c(x-&)
=(x-&)(ax²-&²-bx-&-c)

[Ericovitchi]

oui mais il y a des fautes dans tes factorisations.
La question b) elle servait à répondre à la question par l'autre manière. Celle que j'ai donnée au début :




Et c'est là que l'on se sert de
et de pour mettre (x-&) en facteur
et donc on arrive à montrer que ça a la forme (x-&)R(x) et on peut donner explicitement le R(x) dans ce cas là

[mafate]

donc R polynôme de degré 2 ouah merci je suis trop contente tu ne peux pas savoir à quel point merci beaucoup