Petite question de divisibilité

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]J'ai un exercice de spécialité à faire qui traite des divisibilités et je bloque sur une petite question :doh: :
soit un = 1 + 3 + 3² + ... + 3^n-1 où n est un entier natuel supérieur ou égal à 2
la question est : montrer que si un est divisible par 7, alors 3^n-1 est divisible par 7

voilà ce que j'ai fait : un = (1-3^n)/(1-3) = (3^n -1)/2 (après simplification)
donc j'obtiens que 7 divise (3^n -1)/2
donc (3^n -1)/2 = 7p
3^n -1 = 2 * 7p
3^n = 2 * 7p +1
(3^n)/3 = (2 * 7p +1)/3
3^n+1 = 2/3 * 7p + 1/3
donc ça ne marche pas car on ne trouve pas des diviseurs entiers alors je suis bloquée :hum:
:hein: pourriez me donner un petit coup de main? :hein:
merci d'avance :id: [/FONT]

[rene38]

Bonjour

La question est-elle :

montrer que si est divisible par 7 alors est divisible par 7 ?

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]non pas exactement
vous avez écrit 3^n -1 alors qu'il faut que ce soit 3^n-1 en fait le -1 appartient à la puissance[/FONT]

[rene38]

montrer que si est divisible par 7 alors est divisible par 7 ???

[Anonyme]

Salut !

Si le dernier message de Rene est juste, ton enonce ne me semble pas correct :

u(6) = 1 + 3 + ... + 3^5
= 364
= 7 * 52

Or, 3^5 = 243 n'est pas divisible par 7...

Question : ou est le probleme ?

Bonne journee

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]En fait j'ai essayé aussi avec des chiffres et pour certains d'entre eux ça marche et pour d'autres non alors je me demande si il n'y aurait pas 2 acs à traiter[/FONT]

[rene38]

Mais quelle est exactement la question ?

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]la il s'agit d'une partie d'un exercice car le début j'ai réussis à la faire mais je vous écris tout l'énoncé tel qu'il est :

Dans tout l'exercice n désigne un entier naturel non nul

1) a) pour n inférieur ou égal à 6 et pour n supérieur ou égal à 1, calculer les restes de la division euclidienne de 3^n par 7
1) b) démontrer que, pour tout n, 3^(n+6) - 3^n est divisible par 7
1) c) a l'aide des résultats précédents, calculer le reste dans la divison euclidienne de 3^1000 par 7
1) d) de manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3^n par 7 pour n quelconque?

2) soit un = 1 + 3 + 3² + ... + 3^n-1 où n est un entier natuel supérieur ou égal à 2
a) montrer que si un est divisible par 7, alors 3^(n-1) est divisible par 7
b) réciproquement, montrer que si 3^(n-1) est divisible par 7, alors un est divisible par 7
en déduire les valeurs de n telles que un soit divisibles par 7

j'ai réussi tout le 1 et là j'en suis à la question 2) a) (ce que j'ai posté au début)
je ne sais pas si ça apporte des précisions[/FONT]

[Anonyme]

Re salut,

Rene, je crois que ton dernier message correspond au probleme pose.

Alexjo, je ne veux pas te paraitre "brutal", mais pose comme il est pose, ton probleme n'est pas sujet a interpretation. L'enonce est faux, c'est pas un drame ! Par contre, si tu veux bien, comme tu dis que pour certains chiffres ca marche, j'aimerais bien que tu me donnes un exemple de nombre n tel que u(n) est divisible par 7 et 3^(n-1) l'est aussi.

Merci.

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]a non tu as raison je me suis trompée
je ne pense pas que ça doit marcher
je vous ai envoyé l'intégralité de l'énoncé, je ne sais pas si ça changera quelque chose mais c'est après plusierus vérifications que je l'ai recopié
l'erreur vient peut être du livre[/FONT]

[rene38]

Tout ça me paraît fort étrange :

n'admet pour diviseurs que 1 et des puissances de 3, donc en aucun cas ce nombre ne peut être divisible par 7.

[Anonyme]

Re re salut,

En fait, je crois que u(n) est divisible par 7 lorsque n est un multiple de 6, et uniquement dans ces cas la...

On est donc loin de ton enonce, ou alors je me plante lamentablement...

Quelqu'un pour confirmer / infirmer mon delire ?

A bientot,

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]moi je crois que l'énonce de mon livre doit étre faux[/FONT]

[alexjo59]

[FONT=Comic Sans MS]admettons que ce soit (3^n)-1
comment pourrais-je montrer la réciproque?[/FONT]