Petit problème

[Anonyme]

Bonjour à tous,

petite question que je me pose : comment trouver l'éq. cartésienne d'un
plan sans en connaître son vecteur normal.


Voici l'énoncé :
Soit ( O ; vecteur OA ; vecteur OB ; vecteur OC ) le repère orthonormal.

1. G est l'isobarycentre des points A, B, C.
a) Donner les coordonnées du point G.
b) Montrer que la droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC)

a) G étant l'isobarycentre, les masses des points A, B, C sont égales
on connait les coordonnées de A, B, C => A (1;0;0) B (0;1;0) C(0;0;1)
la formule donnant les coordonnées de G est :
(a*xA+b*xB+c*xC)/(a+b+c) ici a = b = c (noté a par la suite)
(a*yA+b*yB+c*yC)/(a+b+c)
(a*zA+b*zB+c*zC)/(a+b+c)

on trouve : xG = (a(1+0+0))/3a = 1/3
yG = (a(0+1+0))/3a = 1/3
zG = (a(0+0+1))/3a = 1/3

b) La droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC) si elle est
perpendiculaire à au moins deux droites de ce plan
vecteur OG | 1/3 vecteur AB | -1 vecteur AC | -1
| 1/3 | 1 | 0
| 1/3 | 0 | 1

AB.OG = (1/3) - (1/3) = 0
AC.OG = (1/3) - (1/3) = 0

Donc (OG) perpendiculaire au plan (ABC)

jusque là, pas de problème.



2. On considère les points A' (2;0;0) B' (0;2;0) C' (0;0;3).
Ces trois points définissent un plan
a) Déterminer une éq. cartésienne du plan (A'B'C')

et là, je ne sais pas vraiment comment procéder, le plan (A'B'C') n'est
pas perpendiculaire à (OG) qui aurait été son vecteur normal.
Les plans (ABC) et (A'B'C') ne sont pas parallèles

merci pour l'aide pouvant être fournie

[Anonyme]

Bonjour,

certes tu n'as pas de vecteur normal au plan mais il est tres facile
d'en obtenir un : avec A, B et C tu peux avoir deux vecteurs directeurs
du plan, AB et AC par exemple (dsl pas de fleches disponibles), puis tu
calcules le produit vectoriel de AB et de AC : ca donne un vecteur
orthogonal a la fois a AB et a AC, c'est a dire orthogonal au plan.

Et le tour est joue !!!

[Anonyme]

Zak.b wrote:

> 2. On considère les points A' (2;0;0) B' (0;2;0) C' (0;0;3).
> Ces trois points définissent un plan
> a) Déterminer une éq. cartésienne du plan (A'B'C')
>
> et là, je ne sais pas vraiment comment procéder, le plan (A'B'C')
> n'est pas perpendiculaire à (OG) qui aurait été son vecteur normal.
> Les plans (ABC) et (A'B'C') ne sont pas parallèles
>
> merci pour l'aide pouvant être fournie

Tu connais quelques vecteurs (non colinéaires) de ce plan. Deux
suffisent pour trouver un vecteur normal au plan (= normal aux deux
vecteurs). Ca donne un système 2 équations/3 inconnues à résoudre.

Hib.

[Anonyme]

D'autres t'ont donné une méthode rapide à base de produit vectoriel. Si
tu ne connais pas cet outil (je crois me souvenir qu'il n'est plus vu en
première, voire même en terminale ?), une autre solution plus laborieuse
mais efficace aussi :
tu sais qu'un plan a une équation de la forme
ax+by+cz+d=0 (*)
Tu connais trois points de ce plan, A' B' et C'. Donc les coordonnées de
ces points vérifient l'équation (*).
Tu obtiens, en substituant dans (*) x, y et z par les valeurs pour
chaque point, un système de trois équations à trois inconnues.
/!\ Les inconnues sont a, b et c, et non pas x, y et z /!\
Tu sais résoudre un tel système, puis conclure.

Bon courage,
--
Gabriel Kerneis

[Anonyme]

J'avoue que dans les 2 cas je ne comprends pas très bien.

il ne s'agirat que des vecteurs donc pas de pb de flèches

1ère méthode :

A'B' | -2 A'C' | -2
| 2 | 0
| 0 | 3

A'B'.A'C' = -2*-2 + 2*0 + 3*0 = 4
et là, je ne comprends pas bien, le vecteur normal n aurait pour éq 4 :s

2ème méthode :

le système de 2 éq à 3 inconnus, je ne vois pas quelles sont les 2 éqs ?

j'ai essayé ceci :

-2x + 2y = 0
-2x + 3z = 0

j'ai trouvé x=y et z=(2/3)x

là j'ai repris le résultat de la 1ère méthode c-à-d x=4
et j'ai revérifié l'orthogonalité entre A'B' et n et A'C' et n
-2+4 + 2*4 = 0 vérifié pour A'B'.n
-2*4 + 3*(8/3) = 0 vérifié pour A'C'.n

ce qui donnerait un vecteur normal d'éq. n | 4
| 4
| 8/3

mais cela me parait être un joli coup de chance plutôt qu'autre chose non ?


si vous pouviez m'éclairez sur chacune de vos méthodes

dsl et encore merci

[Anonyme]

Zak.b wrote:
> J'avoue que dans les 2 cas je ne comprends pas très bien.
>
> il ne s'agirat que des vecteurs donc pas de pb de flèches
>
> 1ère méthode :
>
> A'B' | -2 A'C' | -2
> | 2 | 0
> | 0 | 3
>
> A'B'.A'C' = -2*-2 + 2*0 + 3*0 = 4
> et là, je ne comprends pas bien, le vecteur normal n aurait pour éq 4 :s
>
>

Non non tu as fait le produit scalaire, moi je te parle de produit
VECTORIEL : le resultat de cette operation est un vecteur, pas un nombre...

Mais peut etre n'est-ce plus au programme...

[Anonyme]

On 04 May 2005 15:07:46 GMT, Gabriel Kerneis
wrote:

>
>
>Zak.b a écrit :[color=green]
>> Bonjour à tous,
>Bonjour,
>> petite question que je me pose : comment trouver l'éq. cartésienne d'un
>> plan sans en connaître son vecteur normal.
>> (...)
>> 2. On considère les points A' (2;0;0) B' (0;2;0) C' (0;0;3).
>> Ces trois points définissent un plan
>> Déterminer une éq. cartésienne du plan (A'B'C')
>D'autres t'ont donné une méthode rapide à base de produit vectoriel. Si
>tu ne connais pas cet outil (je crois me souvenir qu'il n'est plus vu en
>première, voire même en terminale ?), une autre solution plus laborieuse[/color]
oui en TS le produit vectoriel a été supprimé
>mais efficace aussi :
>tu sais qu'un plan a une équation de la forme
>ax+by+cz+d=0 (*)
>Tu connais trois points de ce plan, A' B' et C'. Donc les coordonnées de
>ces points vérifient l'équation (*).
>Tu obtiens, en substituant dans (*) x, y et z par les valeurs pour
>chaque point, un système de trois équations à trois inconnues.
c'est tout à fait dans l'esprit du pg
surtout qu'il y a pas mal de 0 dans les coordonnées des points, donc
systéme simple
sauf qu' en fait il y a à priori 4 inconnues et que 3 équations
ce qui au départ embête un peu les élèves
mais justement ca permet de concrétiser le fait qu'il n'y a pas
unicité de l'équation d'un plan
ici on a tout de suite a,b,c en fonction de d
(2a+d=0,..)
et on donne une valeur arbitraire à d
par exemple de telle sorte que tous les coeff soient entiers
>/!\ Les inconnues sont a, b et c, et non pas x, y et z /!\
>Tu sais résoudre un tel système, puis conclure.
>
>Bon courage,
>--

[Anonyme]

Mike Chioda wrote:
> Zak.b wrote:
>[color=green]
>> J'avoue que dans les 2 cas je ne comprends pas très bien.
>>
>> il ne s'agirat que des vecteurs donc pas de pb de flèches
>>
>> 1ère méthode :
>>
>> A'B' | -2 A'C' | -2
>> | 2 | 0
>> | 0 | 3
>>
>> A'B'.A'C' = -2*-2 + 2*0 + 3*0 = 4
>> et là, je ne comprends pas bien, le vecteur normal n aurait pour éq 4 :s
>>
>>
>
> Non non tu as fait le produit scalaire, moi je te parle de produit
> VECTORIEL : le resultat de cette operation est un vecteur, pas un nombre...[/color]

Il semble qu'il y ait téléscopage entre ta méthode et la mienne.

J'explicite donc :

Un vecteur n(x ; y ; z), normal au plan, vérifie :

n . A'B' = n . A'C' = 0 ("." pour le produit scalaire)

Chacun des deux produits scalaires nuls donne une équation :
-2x + 2y = 0
-2x + 3z = 0

Sol : {(x ; x ; 2/3 x), x dans R}

Prenons donc (3 ; 3 ; 2) comme vecteur normal...

Mais il est clair que l'utilisation du produit vectoriel permet de
réaliser ça bien plus vite !

Hib.