Petit problème sympatique

[viru-elle]

bonjour tout le monde

y-a-t-il une methode mathematique pour resoudre ceci :

"Peut-on choisir les cotés a,b et c d'un triangle rectangle pour que leurs mesures soient les trois termes consecutifs d'une suite géométrique?"

j'attends votre aide ^^
ça n'est pas un devoir mais je suis curieuse de savoir la réponse et je suis sur qu'il y a une méthode autre que le tâtonnement.

[guigui51250]

Salut,

tu as trouvé des exemples déjà?

[fatal_error]

salut,

tu peux formaliser le probleme :

trois termes consecutifs d'une suite géométrique

triangle rectangle

c>b>a si k>1
soit c^2=a^2+b^2

Tu gardes en tête que les longueurs sont positives, puis apres ben faut tenter de résoudre une fois que t'as tout remplacé en fonction de a.

[viru-elle]

mais comment résoudre si je n'ai aucun chiffre...
a part en remplaçant par 1 puis par 2...etc

[guigui51250]

pas besoin de résoudre avec des chiffres, tu résouds avec des lettres c'est pareil, après tout que ce soit des chiffres ou des lettres ça reste qu'un symbole qui ne veut rien dire et un peu d'encre...

[JPzarb]

Bonjour,

A vrai dire... a moins que je ne me trompe, cela sent très très très fort le nombre d'or... Je dis ca je dis rien :fr:

A bientot

[viru-elle]

oui mais la l'ennoncé demande clairement un nombre nan ?

et au risque de paraitre totalement inculte, ce qui dans le domaine des maths n'est pas une nouveauté, qu'est-ce que le nombre d'or ?

[Timothé Lefebvre]

Salut, pour info le nombre d'or noté vaut

[JPzarb]

Oui le nombre d'or est bien (1+sqrt(5)) / 2 (désolé je'arrive décidément pas à me servir de LATEX).
Il est la solution positive de l'équation x²-x-1=0

Pour en revenir au problème posé, ce que j'écris ici, c'est du vite fait, donc des erreurs peuvent s'y cacher.

avec k (tel que défini par Fatal_error) la raison de la suite recherchée
a = a -----------> premier coté
b = k*a ---------> second coté
c= k*b=k²*a ----> dernier coté

et si on suppose que c est l'hypoténuse
c²=a²+b²
k^4*a²=a² + k²*a²
k^4 = 1 + k²
soit avec x=k²
x²-x-1=0 (équation E)

Il est donc en effet possible de définir une suite géométrique telle que les cotés d'un triangle rectangle soient trois termes consécutif de cette suite. Cette suite pourrait avoir pour raison la racine carré positive du nombre d'or.

En fait on aurait ici 4 solutions pour k
(j'apelle n+ le nombre d'or et n- la seconde solution de l'équation E)
Les 4 solutions possibles sont donc :
-sqrt(n+)
+sqrt(n+)
-sqrt(n-)
+sqrt(n-)
Mais toutes ne peuvent pas être des raison d'une suite telle que définie ici.
En effet, si on considère que a est le terme n et que c (l'hypoténuse) est le terme n+3 de notre suite, il faut alors nécéssairement, pour répondre aux containtes de la géométrie, que c>a ... Il faut donc par exemple éliminer toutes les suites strictement décroissantes...

Bref, ce n'est pas compliqué, mais il faut être très rigoureux pour ne pas se tromper. Après, pour avoir vraiment toute les solutions, il faut refaire le même travail en considérant que
a est l'hypoténuse (l'équation E devient : -x²-x+1=0)
puis que b est l'hypoténuse (l'équation E devient : x²-x+1=0)

et refaire létude des possibilité dans ces deux cas...
Si quelqu'un veut se lancer pour ça ^^
courage
A bientôt




A bientôt

[viru-elle]

ouaw JPzarb !!! j'ai peur de ne pas te suivre

aurais-tu encore un petit peu de patience pour m'expliquer cela :

c²=a²+b²
k^4*a²=a² + k²*a²
k^4 = 1 + k²
soit avec x=k²
x²-x-1=0 (équation E)

je ne comprend pas comment tu passe de la première a la deuxieme ligne

en tout cas merci de m'avoir repondu aussi precisement !!!

[Le Chaton]

Bouuuuh :p t'as eu peur hein ... hein ?

:p Heu Bonsoir

Il faut tout lire mamzelle :
a = a -----------> premier coté
b = k*a ---------> second coté
c= k*b=k²*a ----> dernier coté
voila ce qu'a posé Msieur JPzarb :
si b=k*a que vaut b² ?
si c=k²*a que vaut c² ? ...

[Clembou]

Oui le nombre d'or est bien (1+sqrt(5)) / 2 (désolé je'arrive décidément pas à me servir de LATEX).
Il est la solution positive de l'équation x²-x-1=0

Pour en revenir au problème posé, ce que j'écris ici, c'est du vite fait, donc des erreurs peuvent s'y cacher.

avec k (tel que défini par Fatal_error) la raison de la suite recherchée
a = a -----------> premier coté
b = k*a ---------> second coté
c= k*b=k²*a ----> dernier coté

et si on suppose que c est l'hypoténuse
c²=a²+b²
k^4*a²=a² + k²*a²
k^4 = 1 + k²
soit avec x=k²
x²-x-1=0 (équation E)

Il est donc en effet possible de définir une suite géométrique telle que les cotés d'un triangle rectangle soient trois termes consécutif de cette suite. Cette suite pourrait avoir pour raison la racine carré positive du nombre d'or.

En fait on aurait ici 4 solutions pour k
(j'apelle n+ le nombre d'or et n- la seconde solution de l'équation E)
Les 4 solutions possibles sont donc :
-sqrt(n+)
+sqrt(n+)
-sqrt(n-)
+sqrt(n-)
Mais toutes ne peuvent pas être des raison d'une suite telle que définie ici.
En effet, si on considère que a est le terme n et que c (l'hypoténuse) est le terme n+3 de notre suite, il faut alors nécéssairement, pour répondre aux containtes de la géométrie, que c>a ... Il faut donc par exemple éliminer toutes les suites strictement décroissantes...

Bref, ce n'est pas compliqué, mais il faut être très rigoureux pour ne pas se tromper. Après, pour avoir vraiment toute les solutions, il faut refaire le même travail en considérant que
a est l'hypoténuse (l'équation E devient : -x²-x+1=0)
puis que b est l'hypoténuse (l'équation E devient : x²-x+1=0)

et refaire létude des possibilité dans ces deux cas...
Si quelqu'un veut se lancer pour ça ^^
courage
A bientôt

A bientôt

Oui ! C'est dommage que tu donnes une partie de la réponse... :triste: Relis le réglement !

[JPzarb]

Bonjour,
Désolé, je l'ai lu, mais après avoir ecrit ce post :s

[Clembou]

Ok ! Donc erreur à ne pas refaire :++:

[JPzarb]

Ok ! Donc erreur à ne pas refaire :++:

C'est noté