Petit probleme plans :)

[juju78]

Bonjour,j'ai un probleme avec la question d'un exo qui me bloque !
(J'étais deja venu demandé votre aide a propos de cet exo)

Donc voici la figure :



Soit E(40;0;0) contenu dans le plan (EFD) d'équation 3x+2y+z-120=0
Soit A(0;0;40) contenu dans le plan (AFB) d'équation 2x+y+3z-120=0
Soit C(0;30;0) contenu dans le plan (DCB) d'équation x+4y+z-120=0

Ce domaine represente l'ensemble des points dont les coordonnées respectent les contraintes d'une entreprise qui fabrique 3 objets, en quantités x,y,z.
Le bénéfice en euros de l'entreprise s'exprime sous la forme
b= 12x+13y+10z

Il me demande de refaire la figure ci-dessous est de representer le plan qui correspond à un benefice de 500€

Pour cela j'ai cherché lintersection du plans des benefices (12x+13y+10z=500)
avec les plans (EFD) (et je ferai pareil ac AFB et DBC )

J'ai donc pour (EFD) résolu le systeme suivant : x+4y+z-120=0
12x+13y+10z=500

Je trouve alors deux points de coordonnées (-350;0;470) et (88/7;188/7;0)

Il me faut alors tracé cette droite ?
et je ferais de meme pour les autres plans?
et linteresection de ces 3droites me donnerait le bénéfice ? mais il faut que ce soit un plan non? c'est à ce niveau que je bloque

merci de votre aide ^^

[Sphinx]

Il s'agit d'un exercice d'optimisation.
La zone en question représente le polyèdre des contraintes (des contraintes économiques qu'on aurait dû te présenter au début de l'exercice,elles correspondent aux 3 équations de plans du début).
12x+13y+10z=t est l'équation d'un plan P(t).
Tous les plans P(t) sont parallèles entre eux (en faisant varier t).
Tous ces plans sont orthogonaux au vecteur (12,13,10).
On cherche en général le bénéfice maximal sous ces contraintes,qui est obtenu en prenant un plan P(t) interceptant le polyèdre des contraintes.
On cherche donc le plus grand t tel que P(t) intercepte encore le polyèdre des contraintes.
Peut-être que t=500 correspond à ce bénéfice maximal.Si oui,le plan P(500) n'a avec le polyèdre des contraintes qu'un seul point d'intersection:à savoir l'intersection des 3 plans donnés au départ (il y a de fortes chances que ce soit le point G).Théoriquement tu sais résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues x,y,z.
Pour information,l'intersection de 2 plans est soit un plan,soit une droite,soit rien.
Celle de 3 plans est soit un plan,soit une droite,soit un point,soit rien.
J'espère t'avoir un peu plus éclairé.
Ciao et bonne continuation!