Un petit probleme avec une suite.

[problememaths]

Voila mon problème:

La suite u(n) définie par u(0)=3 et u(n+1)= [4u(n)-2] / [u(n)+1] pour tout n € N.

1) Démontrer que u(n)>1
J'ai réussi cette question a l'aide d'un raisonnement par récurrence.

2)La suite v(n) est définie par: v(n+1) = [u(n)-2] / [u(n)-1] pour tout n € N

a) Pourquoi v(n) est elle définie pour tout n € N
J'ai réussi cette question.

b) Démontrer que v(n) est une suite géométrique de raison 2/3 et déterminer sa limite
J'ai réussi cette question, et j'ai déterminer sa limite en me basant sur le fait que la raison est entre ]-1;1[ , donc v(n) tend vers 0.

c)En déduire que la suite u(n) est convergente et préciser sa limite.
Voila c'est la que je bloque je ne sais pas par ou commencer !

Merci de votre aide a tous!

[XENSECP]

ba une fois que tu as v(n) et sa convergence tu as u(n) non?

[Sa Majesté]

Salut

Tout est bon (pourrais-tu par curiosité montrer ton raisonnement par récurrence pour la 1 ?)

Pour la 2c) il suffit d'exprimer u(n) en fonction de v(n) grâce à la relation

[problememaths]

Merci de vos conseilles !

En exprimant u(n) en fonction de v(n) je trouve:

u(n) = [v(n+1)-2] / [v(n+1)-1]

Sachant que v(n) tend vers 0 en + l'infinie, v(n+1) tend également vers 0.
> lim [v(n+1)-2] = -2
> lim [v(n+1)-1] = -1

Donc lim u(n) = 2



Pour répondre a "sa majesté" voila mon raisonnement pas récurrence
Montrons que u(n) > 1

- La propriété à n=0 est t-elle vraie (Po est-elle vraie) ?
u(0) = 3 > 1

Po est donc vraie

-Supposons u(n) > 1 vraie (Pn vraie):
u(n) > 1
3 u(n) > 3
4 u(n) - u(n) > 2 + 1
4 u(n) - 2 > u(n) + 1
[4 u(n) - 2] / [u(n) + 1] > 1
u(n+1) > 1


La propriété est donc héréditaire. l'axiome de récurrence entraine que u(n) > 1 pour tout n € N.

[Sa Majesté]

Perfecto ! :zen: