Petit Exerice d'arithmétique

[Sawamura07]

Bonsoir à tous et à toutes ,
J'ai un DM à faire pour demain et je rencontre pas mal de difficultés. Tout aide sera la bienvenue
Je ne deamande pas de solutions complètes , même une petite piste pour y arriver fera plaisir
Voilà l'exercice :
u_n=2^+3^n
1-a Montrer pour tout entier n 2^n et 3^n sont premiers entre eux (fait)
1-b montrer que pour tous entiers naturels non nuls x et y, (x+y)^(2x+3y)=x^y (on parle de pgcd ici , j'arrive pas à trouver une pister pour résoudre cette question
1-c en deduire que u_n et u_n+1 sont premiers entre eux (Fait)
2-Montrer par récurrence que u_2k+1 est divisible par 5(j'arrive pas à le faire)
en deduire que u_2k+1 ^ u_2k+3=5
Merci d'avance

[mathelot]

1-b montrer que pour tous entiers naturels non nuls x et y, (x+y)^(2x+3y)=x^y (on parle de pgcd

démontrer PGCD(x+y,2x+3y)=PGCD(x,y)

il suffit de montrer que pgcd(x+y,2x+3y) divise x et y et réciproquement
pgcd(x,y) divise pgcd (x+y,2x+3y)

indication (hint) pour la 1.b)

le système d'inconnues (x,y) a un déterminant de 1 et permet
de calculer x et y, fonctions de u et v dans

[chan79]

salut
pour 1a

Tu montres que les diviseurs communs à x et y sont les mêmes que les diviseurs communs à (x+y) et (2x+3y). (tu le fais en deux étapes)
Ensuite, si on pose x= et y=

Comme et sont premiers entre eux, il en est de même de et

[mathelot]

pour la (2) regardons la somme:



peut on faire apparaître et dans la somme ci dessus ?

[zygomatique]

salut

comme c'est demandé par récurrence je te fais autrement ....



:zen:

maintenant mathelot a posé une bonne question ....



pour la récurrence il suffit de savoir que

:ptdr:

[Sawamura07]

Exercice résolu . Merci pour votre aide tout le monde , ça m'a bien aidé :we: