Bonjour je dois étudier plusieurs limites de fonctions trigonométriques et j'aimerais que vous me confirmiez ou infirmiez mes résultats. Merci beaucoup
Limite en zéro avec la fonction cosinus
Le but est de calculer la limite de cos h - 1 / h en 0 puis la limite de
cos h - 1 / h²
1) En remarquant que cos h = 1 - 2sin² h/2 prouvez que
cos h - 1 / h = - (sin² h/2) / (h/2)
alors en remplacant on a cos h - 1 / h = - 2sin² h/2 / h
ce qui équivaut à - sin² (h/2) / (h / 2) en ayant fait passer le 2 au dénominateur est ce correcte ?
Résultat je trouve 0 pour la limite de cos h - 1 / h en 0
pour cos h - 1 / h² on a : -2 sin² (h/2) / h²
ce qui équivaut à - sin²(h/2) / (h²/2)
ce qui équivaut à - sin ( h/2) / ( h/2) * sin (h) /h * 1/2
donc lim de - sin ( h/2) / (h/2) = -1 quand h/2 tend vers 0
de meme pour lim sin ( h) / (h) = 1 quand h tend vers 0
donc lim de cos h - 1 / h² = - 1/2 quand h tend vers 0
est ce correcte
Petit exercice sur les limites
7 messages
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par Bertrand Hamant » 30 Oct 2005, 19:54
Merci Chimérade
La suite de l'exercice se corse un peu, mais j'aimerais savoir si c'est correcte ou pas merci.
f et g sont deux fonctions définies et dérivables sur D = [ 0 ; + 00 [ telles que pour tout x de l'intervalle D f ' (x) < g ' (x)
En étudiant la fonction h définie sur D par h(x) = f(x)-f(0) - g(x)-g(0) prouvez que : f(x) - f(0) < g(x) - g(0)
Donc h ' ( x ) = f ' (x) - g' (x )
Pour étudier la fonction h il faut étudier le signe de h ' ( x )
soit résoudre f ' (x) - g' (x) = 0 on a donc f ' (x) = g ' (x) or l'énoncé précise que f ' (x) < g' (x)
soit h' ( x ) = f '(x) -g'(x) < 0 soit donc h'(x) < 0 h ' ( x ) est de signe négative, de plus h ( x ) = 0 donc la fonction f est décroissante ce qui revient à dire que h(x) < 0 soit f(x)-f(0) < g(x)-g(0) est ce correcte ?
Encadrements de sin x et cos x
1) Démontrez que pour tout x<0 - x < sin x < x
soit f(x) = - x et g (x) = sin x on a donc - x < sin x
puis soit f(x) = sin x et g (x ) = x on a donc sin x < x
soit pour tout x > 0 - x < sin x < x est ce correcte ?
2) lorsque f(x) = - cos x, f ' (x) = sin x et lorsque g(x) = x²/2 et g '(x) = x
en utilisant [1], déduisez-en que pour tout x > 0 1 - x²/2 < cos x < 1 + x²/2
f(x) - f(0) < g(x) - g(0) = -cos x +1 < x²/2 ce qui équivaut à
cos x > 1 - x²/2
Or pour tout x > 0 on sait que f(x) < | A |---> - A < f(x) < A
donc il en va que
1- x²/2 < cos x < 1 + x²/2 est ce correcte ?
L'énoncé préfère garder 1- x²/2 < cos x < 1
Démontrer que que cette inégalité est vraie pour tout réel x
je dirais probablement pour des raisons de parités mais je ne sais pas le démontrer merci de me donner un petit coup de pouce
Ensuite il me demande de réitirer le processus, prouvez que pour tout réel x>0
x- x^3/6 < sin x < x et que pour tout réel x ,
1 - x²/2 < cos x < 1 -x²/2+ x^4/24
Merci de me donner un petit coup de pouce et de me confirmez si tout semble correcte merci
La suite de l'exercice se corse un peu, mais j'aimerais savoir si c'est correcte ou pas merci.
f et g sont deux fonctions définies et dérivables sur D = [ 0 ; + 00 [ telles que pour tout x de l'intervalle D f ' (x) < g ' (x)
En étudiant la fonction h définie sur D par h(x) = f(x)-f(0) - g(x)-g(0) prouvez que : f(x) - f(0) < g(x) - g(0)
Donc h ' ( x ) = f ' (x) - g' (x )
Pour étudier la fonction h il faut étudier le signe de h ' ( x )
soit résoudre f ' (x) - g' (x) = 0 on a donc f ' (x) = g ' (x) or l'énoncé précise que f ' (x) < g' (x)
soit h' ( x ) = f '(x) -g'(x) < 0 soit donc h'(x) < 0 h ' ( x ) est de signe négative, de plus h ( x ) = 0 donc la fonction f est décroissante ce qui revient à dire que h(x) < 0 soit f(x)-f(0) < g(x)-g(0) est ce correcte ?
Encadrements de sin x et cos x
1) Démontrez que pour tout x<0 - x < sin x < x
soit f(x) = - x et g (x) = sin x on a donc - x < sin x
puis soit f(x) = sin x et g (x ) = x on a donc sin x < x
soit pour tout x > 0 - x < sin x < x est ce correcte ?
2) lorsque f(x) = - cos x, f ' (x) = sin x et lorsque g(x) = x²/2 et g '(x) = x
en utilisant [1], déduisez-en que pour tout x > 0 1 - x²/2 < cos x < 1 + x²/2
f(x) - f(0) < g(x) - g(0) = -cos x +1 < x²/2 ce qui équivaut à
cos x > 1 - x²/2
Or pour tout x > 0 on sait que f(x) < | A |---> - A < f(x) < A
donc il en va que
1- x²/2 < cos x < 1 + x²/2 est ce correcte ?
L'énoncé préfère garder 1- x²/2 < cos x < 1
Démontrer que que cette inégalité est vraie pour tout réel x
je dirais probablement pour des raisons de parités mais je ne sais pas le démontrer merci de me donner un petit coup de pouce
Ensuite il me demande de réitirer le processus, prouvez que pour tout réel x>0
x- x^3/6 < sin x < x et que pour tout réel x ,
1 - x²/2 < cos x < 1 -x²/2+ x^4/24
Merci de me donner un petit coup de pouce et de me confirmez si tout semble correcte merci
par Bertrand Hamant » 30 Oct 2005, 20:02
Je pense avoir une idée
pour démontrer que pour tout réel x > 0 x^3 / 6 < sin x < x
on peut dire que f(x) = sin x et que g(x) = x
on donc d'après [1] sin x < x
puis en prenant f(x) = x^3/6 et g(x) = sin x on d'après [1] x^3/6 < sin x
de plus f'(x) < g'(x) c 'est à dire 1-x²/2 < cos x < 1
soit donc x^3/6 < sin x < x est ce juste
pour démontrer que pour tout réel x > 0 x^3 / 6 < sin x < x
on peut dire que f(x) = sin x et que g(x) = x
on donc d'après [1] sin x < x
puis en prenant f(x) = x^3/6 et g(x) = sin x on d'après [1] x^3/6 < sin x
de plus f'(x) < g'(x) c 'est à dire 1-x²/2 < cos x < 1
soit donc x^3/6 < sin x < x est ce juste
par Bertrand Hamant » 30 Oct 2005, 21:37
pourriez vous me confirmiez l'exercice s'il vous plait j'aimerais savoir si le processus est correcte. Merci
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