Petit exercice de sommes

[entropik]

Bonsoir à tous,
Cet exercice me pose problème:
Calculez
Il faut donc trouver le binôme de newton qui vaut cette somme. Donc . Ainsi, si a= -1 il faudrait que mais dans ce cas b=1 et le binôme serait égal à 0 alors est-ce que cela à un sens? Sinon que peut on faire?

[kidibou]

ben ca marche non?

[entropik]

oui ça "marche" mais le fait que ça soit égal à 0 me semble bizarre, enfin merci, visiblement cela semble logique pour tout le monde

[kidibou]

ben en fait tu fais la somme de termes positifs, puis négatifs, puis positifs, ect...
Il n est donc pas impossible de tomber sur 0

[entropik]

Non ça va pas du tout en fait, la somme n'est jamais égale à 0, quelle que soit la valeur de n car tout nombre exposant 0 =1 et une combinaison n'est jamais égale à 0. Donc il est impossible que a= -1 et b=1 car 0 exposant tout nombre reste 0 ou n'existe pas. Si quelqu'un pouvait m'aiguiller sur la manip à faire pour que le prouit de a et b donne ce serait sympa. C'est sûrement tout bête mais je vois pas...

[aviateurpilot]

Bonsoir à tous,
Cet exercice me pose problème:
Calculez
Il faut donc trouver le binôme de newton qui vaut cette somme. Donc . Ainsi, si a= -1 il faudrait que mais dans ce cas b=1 et le binôme serait égal à 0 alors est-ce que cela à un sens? Sinon que peut on faire?

je confirme ou es le probleme.
si tu vois que le fait que soi nul est impossible essaye de faire est exemple pour n=3 et n=4 et tu va voir que c'est normal :we:

[kidibou]

Pour n=0, la somme fait 1 et pour tout n>0 elle vaut 0.

[entropik]

ah oui juste c'est bizarre

[entropik]

Merci à vous, le seul truc qui me dérange c'est que le binôme de newton n'existe pas pour n inférieur ou égal à 0. Donc je présume qu'il faut justifier de la sorte: a= -1 et b=1 pour tout n > 0

[BQss]

ah oui juste c'est bizarre

Si n est impaire ca se demontre facilement car C(p,n) = C(n-p,n) (c'est le caractere symetrique des combinaisons, il y a autant de manieres de choisir p elements dans un ensemble a n elements que d'en choisir n-p dans un ensemble a n elements, c'est logique vu que de choisir p elements ca revient a ne pas en choisir n-p. Donc le nombre de maniere differente d'en prendre p vaut bien le nombre de maniere differente de ne pas en prendre n-p qui vaut le nombre de maniere differente d'en prendre n-p forcement...)

De plus n-p et p sont de parités differentes si n est impaire.
On a alors si p est paire, n-p est impaire. si p est impaire, n-p est paire.
Du coup ca revient a sommer deux a deux les (-1)^p*C(p,n) + (-1)^(n-p)*C(n-p,n) qui sont des nombres opposés car si p est paire et n est impaire (-1)^p et (-1)^(n-p) valent 1 et -1 ou -1 et 1. Donc (-1)^p*C(p,n) + (-1)^(n-p)*C(n-p,n) = 0. tu les sommes ainsi deux par deux de 0 à n et ta somme vaut 0...

Pour un n paire c'est un peu plus compliqué, mais ca se demontre aussi:
Grace a la relation de Pascal C(p,n)=C(p,n-1)+C(p-1,n-1).
Si n paire les termes symetriques ont cette fois le meme signe donc:
somme((-1)^kC(k,n))= somme C(2k,n) - somme (C(2k+1,n)
grace au triangle de Pascal ca donne:
somme [C(2k,n-1)+C(2k-1,n-1)] - somme [C(2k+1,n-1)+C(2k,n-1)]
= Somme(C(k,n-1)) - Somme(C(k,n-1)) =0
.

[entropik]

à l'aise merci pour ces éclaircissements détaillés