[Résolu] Un petit exercice d'intégrales.

[Hick_Jeck]

Bonsoir à tous,
Je souhaiterais terminer le DM de maths , je poste ici en dernier recours car je n'ai pas trouvé comment finir ce sujet de bac C de 1987.
On donne : I_0 = \int_1^e x dx et pour tout n!=0, I_n = \int_1^e x(ln(x))^n dx
1) Calculer I0 et I1. C'est fait


2) Montrer que . Puis calculer I2.
C'est fait. I2 : .

3) Montrer sans calcul que la suite (In) est décroissante. En déduire, en utilisant la relation démontrée à la question 2, que pour tout entier naturel non nul n, .

Je trouve plus. J'y arrive pour la première partie de la question avec des calculs néanmoins :



4) En déduire lim In quand n tend vers +infini, et lim nIn quand n tend vers +infini.

Rien non plus.

Merci d'avance.
Hick_Jeck.

[Hick_Jeck]

Up SVP, c'est la toute fin du DM, je dois le rendre demain, j'aimerais le rendre nickel, sans ce vide :/ .

[gigamesh]

Ouah le bac C 1987 !!! Mon année...
Bon je veux bien t'aider mais tu m'enverras l'énoncé complet en échange.

Pour la question 3, ta démarche est correcte, mais on te demande la même chose sans tous ces horribles calculs ; un truc du genre "sur [1;e] on a 0 <= ln(x) <=1 donc la suite géo (ln(x) ^n) décroît ; ainsi pour tout x dans [1;e], pour tout n entier, et on intègre cette inégalité de 1 à e avec 1 <e " (si on avait intégré de a à b avec b<a cela aurait inversé l'ordre).

Pour la 3), deuxième partie, on te donne une indication ; tu as
*
*

Tu en tires que d'où ...
Pour la deuxième partie de l'encadrement, travaille au rang suivant.

Question 4) :
* théorème des gendarmes
* La limite du quotient de deux polynômes à l'infini est égale à la limite du quotient simplifié des termes de plus haut degré.

C'était le sujet national, ou bien dans une académie ?
L'exo ne me rappelle rien.

[Ericovitchi]

Et aussi il a été traité là hier ou avant hier.

[Hick_Jeck]

Ouah le bac C 1987 !!! Mon année...
Bon je veux bien t'aider mais tu m'enverras l'énoncé complet en échange.

Tout d'abord, merci de ta réponse. Au risque de te décevoir, je n'ai que cet exercice du sujet. Dieu me préserve du restant du sujet, cet exercice me donne déjà bien assez de fil à retordre .

Pour la question 3, ta démarche est correcte, mais on te demande la même chose sans tous ces horribles calculs ; un truc du genre "sur [1;e] on a 0 <= ln(x) <=1 donc la suite géo (ln(x) ^n) décroît ; ainsi pour tout x dans [1;e], pour tout n entier, et on intègre cette inégalité de 1 à e avec 1 <e " (si on avait intégré de a à b avec b<a cela aurait inversé l'ordre).

Ah oui, d'accord. Pas besoin de calculs donc.

Pour la 3), deuxième partie, on te donne une indication ; tu as
*
*

Tu en tires que d'où ...
Pour la deuxième partie de l'encadrement, travaille au rang suivant.

Pour l'autre par contre, j'ai plus de mal. Au rang suivant, je trouve rien qui me convienne.

Question 4) :
* théorème des gendarmes
* La limite du quotient de deux polynômes à l'infini est égale à la limite du quotient simplifié des termes de plus haut degré.

D'après le Théorème des gendarmes,


De plus,

C'était le sujet national, ou bien dans une académie ?
L'exo ne me rappelle rien.

Il me semble qu'à cette époque, les sujets étaient par académies et non nationaux, non ? Je dois me tromper, je n'en sais fichtrement rien à vrai dire.

Merci encore de ton aide,
Hick_Jeck.

[gigamesh]

Hopopop.

Pas trop mal mais une erreur grossière, qui fausse tes résultats :




Le terme de plus haut degré du numérateur est , où est le coefficient de.

De même, écris



Quant à l'encadrement, tu as et donc ...

[Hick_Jeck]

Hopopop.

Pas trop mal mais une erreur grossière, qui fausse tes résultats :




Le terme de plus haut degré du numérateur est , où est le coefficient de.

De même, écris

Merci de la réponse. Effectivement, c'est grossier :p . Fatigué hier soir moi...

Quant à l'encadrement, tu as et donc ...

Oui, mais c'est assez strange :

J'ai des doutes sur mes lignes suivantes (si In est négatif par exemple)


Je sais pas trop.
Merci encore de ta réponse,
Hick_Jeck.

Edit : C'est bon en fait ! Merci beaucoup à tous ! .