Petit casse tête [tS]

[Anonyme]

Bonjour, je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
que ln u < u pour u>0 biensur!!

J'ai pu démontrer auparavant que lnracx = 1/2 lnx

en effet on a x>0 x=(racx)², d'où lnx= ln racx+lnracx
soit 1/2 lnx = 1/2 . (2lnracx)
Ssi 1/2 lnx=lnracx

mais pour après je n'y arrive pas!! je continue çà chercher mais si
quelquu'un a un tuyaux....., je vous en remercie d'avance Marie

[Anonyme]

ndl wrote:
> Bonjour, je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
> que ln u 0 biensur!!
>
> J'ai pu démontrer auparavant que lnracx = 1/2 lnx
>
> en effet on a x>0 x=(racx)², d'où lnx= ln racx+lnracx
> soit 1/2 lnx = 1/2 . (2lnracx)
> Ssi 1/2 lnx=lnracx
>
> mais pour après je n'y arrive pas!! je continue çà chercher mais si
> quelquu'un a un tuyaux....., je vous en remercie d'avance Marie

Sans données supplémentaires ça va être très difficile.

Ex.: Si je pose f(x) = 100 ln(x), alors f(ab) = f(a) + f(b), mais bye
bye la majoration par x.

Donc il te faut connaître au moins une valeur de ln (pas ln 1, elle
découle de l'équation fonctionnelle).

En fait, n'en connaître une ne suffit pas :

f définie sur R+* par
si x = 2^r, r rationnel, alors f(x) = 2r
si x = 3^r, r rationnel, alors f(x) = 3r
si x = 5^r, r rationnel, alors f(x) = 5r
.... (pour les nombres premiers)

si x s'écrit comme produit de puissances rationnelles des nombres
premiers, x = PROD p_i^r_i, f(x) = SOMME p_i*r_i

sinon : f(x) = 0

Voilà une jolie fonction qui vérifie encore l'équation fonctionnelle !

Donc il faut connaître plus de choses.

Question subsidiaire :
Quelle est la plus grande valeur de k pour que k ln(u) <= u pour tout u ?

[Anonyme]

ndl a écrit :

> Bonjour, je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
> que ln u 0 biensur!!

Comme te l'as fait remarquer Hibernatus, la seule équation fonctionnelle
est tout à fait insuffisante. Par contre, une bête étude de fonction te
mèneras à bon port sans souci

RM.

[Anonyme]

Romain Mouton a écrit dans le message :
422f319e$0$29900$626a14ce@news.free.fr...
ndl a écrit :

> Bonjour, je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
> que ln u 0 biensur!!

Comme te l'as fait remarquer Hibernatus, la seule équation fonctionnelle
est tout à fait insuffisante. Par contre, une bête étude de fonction te
mèneras à bon port sans souci

RM.

Oui, je sais qu'il est possible de faire l'étude de la fonction ln u -u et
on trouve le résultat, seulement il est écrit que ces questions doivent être
résolu uniquement avec cette propriété....

[Anonyme]

ndl wrote:

> Oui, je sais qu'il est possible de faire l'étude de la fonction ln u -u et
> on trouve le résultat, seulement il est écrit que ces questions doivent être
> résolu uniquement avec cette propriété....

Donc : non. Mais nous as-tu fourni tout l'énoncé ? N'y a-t-il pas
d'autres propriétés à utiliser ?

[Mikou]

utilise la fonction exp, en effet
exp(ln(ab) = a*b
exp(ln(a)+ln(b)) = exp(ln(a))*exp(ln(b)) =a*b
voila :happy3:


edit : 30/04/2005, 19h23 :ptdr: un reponse bien tardive