Petit cadeau de vacances ...

[brebre54]

Comme beaucoup de TS, à chaque vacances, mon prof de maths me gâte XD

Voici le sujet :

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k)
1) La droite (D1) passe par I (1 ; 2 ;-1) et a pour vecteur directeur
u (1 ; 2 ; 0)
La droite (D2) passe par J (0 ; 1 ; 2) et a pour vecteur directeur v (0 ; 1 ; 1)
a) Démontrer que (D1) et (D2) ne sont pas coplanaires.
b) Montrer qu’il existe un point E sur (D1) et un point F sur (D2) tels que la droite (EF) soit orthogonale à (D1) et à (D2).
c) En déduire la distance de (D1) à (D2).

2) On donne les points A (8 ; 0 ; 8), B (10 ; 3 ; 10) et la droite (D) de représentation paramétrique :
x=-5+3s
y=1+2s (s appartient à R).
z=-2s
Le plan (P) est parallèle à (D) et contient (AB)
Déterminer une équation cartésienne de (P)

3) La sphère (S) est tangente à (P) au point C (10 ; 1 ; 6).
Le centre ;) de (S) se trouve à la distance d=6 de (P), du même côté que O.
Justifier qu’il existe un réel t tel que le vecteur ;)C ait pour coordonnées
(2t ;-2t ;t).
Déterminer les coordonnées du point ;).

4) Le plan (Q) a pour équation cartésienne : x+y-2z-9=0.
Prouver que (S) est sécante à (Q) suivant un cercle (C) dont vous déterminerez le rayon



Donc la question 1 ça va je pense, j'ai prouvé que les droites étaient non parallèles et non sécantes donc non coplanaires, j'ai ensuite trouvé E(-2/3;-4/3;-1) et F(0;-5/3;-2/3) et la distance EF= rac(6)/3
Est-ce correct ?

Pour la 2 je me doute qu'on soit obligé de trouvé un vecteur normal au plan, mais je sais pas trop par où commencer ...

Merci de votre aide ^^

[Ericovitchi]

Pour le 2) tu peux toujours chercher ton plan sous la forme ux+vy+wz+1=0

dire que A et B sont dessus (2 équations)
puis faire l'intersection avec la droite et dire qu'il n'y a pas de solution

(-5+3s)u+(1+2s)v-2sw+1=0 donc (-5u+v+1)+s(3u+2v-2w)=0 il ne faut pas de solutions donc pas de s qui marche donc 3u+2v-2w=0 ça te fait ta troisième équation

[brebre54]

j'ai pas tout compris XD

Déjà pourquoi ux+vy+wz+1=0 , c'est le +1 que je comprends pas, normalement ok on a une constante mais pourquoi ça serait forcément 1 ? ... Il y a une infinité d'équation pour un même plan il me semble donc forcément une avec "+1" mais pourquoi choisir celle la ...

Après on a donc si je prends les deux équations avec les points A et B

8u+8w+1=0
10u+3v+10w+1=0

Et puis là, trou noir, rien compris XD

[Ericovitchi]

effectivement il y a une infinité d'équations pour représenter un plan. Il suffit d'en choisir une. Pourquoi pas celle là ?

[brebre54]

Désolé pour le retard, un petit problème de connexion ...

Ok pour le +1, pourquoi pas, mais après j'ai pas compris ce que tu avais fait pour trouver : (-5+3s)u+(1+2s)v-2sw+1=0

Enfin je suis pas sûr mais en gros tu as pris un point M de (D), donc on a M(-5+3s;1+2s;-2s) avec s dans R et tu cherches un point M appartenant au plan (P) c'est ça ?

Donc tu as (-5+3s)u+(1+2s)v-2sw+1=0 d'où le (-5u+v+1)+s(3u+2v-2w)=0, jusque là OK mais pourquoi il ne peux pas y avoir de solution ?

[Ericovitchi]

Effectivement l'intersection de la droite
x=-5+3s
y=1+2s (s appartient à R).
z=-2s
et du plan ux+vy+wz+1=0 se calcule en regardant les x,y,z qui satisfont les deux équations à la fois donc en remplaçant les x,y,z dans l'équation du plan.

il ne peux pas y avoir de solution parce que l'on te dit dans l'énoncé que la droite est parallèle au plan. s'il y avait une solution on trouverait un point d'intersection.

[brebre54]

Ah oui ... XD

Donc si je répète, on a :

8u+8w+1=0
10u+3v+10w+1=0

(-5u+v+1)+s(3u+2v-2w)=0 n'a pas de solution, mais décidément j'ai beaucoup de mal ...

Si on dit que 3u+2v-2w=0 , si jamais -5u+v+1 = 0 on aura une solution non ?

[Ericovitchi]

oui il faudra vérifier à la fin (quand on aura trouvé u,v,w) que -5u+v+1 n'est pas égal à zéro. (ca voudrait dire que tous les s marchent donc en fait que la droite est toute entière dans le plan ).

[brebre54]

Je sais pas si c'est juste mais j'ai trouvé comme équation cartésienne du plan

(7/60)x+(1/12)y+(-1/15)z+1=0 ou (7/5)x+y-(12/15)z+12=0 (pour des plus petites fractions ...


Est-ce correct ?

[brebre54]

Apparemment, ce n'est pas correct puisque C n'est pas sur le plan ...

Je ne vois pas pourquoi comme (-5u+v+1)+s(3u+2v-2w)=0 n'a pas de solution forcément s(3u+2v-2w)=0 ...

Je n'ai décidément rien compris XD

Je me suis donc attelé à la question 3 mais je vois pas comment faire sans l'équation du plan (même s'il semble évident que cela est valable pour t=2 ce qui nous ferais comme coordonnées pour ;)C(4;-4;2) ce qui nous donne bien une longueur ;)C=6, et donc ;)(6;5;4) mais comment le justifier ?)

Et pour la question 4 je trouve que le plan (Q) et la sphère sont sécantes car la distance du centre au plan est inférieur au rayon, et avec Pythagore on trouve comme rayon de (C) rac(30)