Période et tableau de variations (+dérivées?) niveau lycée

[Wolfchess]

Bonsoir à tous,

Avant tout, j'ai écris dans le titre "dérivées?" car cet exercice est "classifié" dans la partie <dérivées> d'un dossier d'exercices que je dois effectuer mais je ne vois pas le lien avec.

Voici l'exercice :

"Déterminer la période de la fonction g(x) = sin2x + 2cosx et établir uniquement le tableau de variations sur cette période ainsi que les coordonnées des extremas."


Pour la période je trouve : sin2x -> période = 2π/2 = π et 2cosx -> période = 2π/1 = 2π donc on doit trouver un ppcm donc 2π

Ce qui nous donne période de sin2x + 2cosx = 2π.
Est-ce juste ?

Pour la suite donc effectuer le tableau de variations sur cette période je ne comprends pas comment je peux le faire à partir de cette fonction.
Je sais comment effectuer un tableau de variations et établir les extremas mais je ne vois pas le lien avec la fonction. (effectuer la dérivée peut-être)

Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance et bonne soirée à vous.
Ps : je me répète sans doute dans mes propos mais c'est pour être sûr d'être compris. N'y prêtez pas attention

[LB2]

Bonjour wolfchess,

effectivement, pour les fonctions, il y a toujours un lien entre tableau de variations et la fonction dérivée.
Plus précisément, le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction
- Si sur un intervalle, alors f est croissante (car toutes ses droites tangentes ont un coefficient directeur positif)
- Si sur un intervalle, alors f est décroissante (car toutes ses droites tangentes ont un coefficient directeur négatif )
- Si f'(x)=0 en changeant de signe, alors x est l'abscisse d'un minimum ou d'un maximum.

En pratique, la méthode d'étude d'une fonction est donc :
- Trouver son ensemble de définition, et l'ensemble de définition de sa dérivée
- Calculer la dérivée
- Déterminer le tableau de signes de la dérivée (par exemple en factorisant ou en résolvant un trinôme du second degré)
- En déduire le tableau de variations de la fonction
- Calculer les valeurs des maximums/minimums

Cordialement

[LB2]

Dans ton exercice particulier, comme ce sont des fonctions trigonométriques, il y a une méthode "à la physicienne" qui permet d'avoir directement amplitude et phase du signal f(x), vu comme superposition des signaux x->sin(2x) et x->2cosx

[LB2]

Correction : la méthode "physicienne" précédente fonctionne si les signaux de départ avaient même période. Par exemple g(x)=sin(x)+2cos(x) qui donne
Si ce n'est pas le cas, on peut toujours factoriser, mais c'est plus compliqué... Par exemple le calculateur en ligne wolfram alpha donne

[Wolfchess]

Correction : la méthode "physicienne" précédente fonctionne si les signaux de départ avaient même période. Par exemple g(x)=sin(x)+2cos(x) qui donne
Si ce n'est pas le cas, on peut toujours factoriser, mais c'est plus compliqué... Par exemple le calculateur en ligne wolfram alpha donne

Merci pour ta réponse.
Désolé je ne connais pas cette méthode physicienne. Sans doute pour plus tard x)

Normalement je dois ensuite effectuer f'(x) = 0 pour faire mon tableau de signes et c'est ça qui me bloque.

Donc pour cette fonction j'obtiens la dérivée (sin2x + 2cosx)'

= 2cos2x - 2sinx (sans décomposer cos2x)
OU = 2cos²x - 2sin²x - 2sinx (si on décompose cos2x)

ensuite nous pouvons mettre en évidence le 2
-> ce qui nous donne = 2.(cos2x - sinx) (sans décomposer cos2x)
OU = 2.(cos²x - sinx²x - sinx) (si on décompose cos2x)

Ensuite je dois effectuer f'(x) = 0 pour faire le tableau de signes et c'est là que je bloque...
cos2x - sinx = 0 (sans décomposer cos2x)
OU cos²x - sin²x - sinx =0 (si on décompose cos2x)
Je ne vois pas comment faire le tableau de signe de cette dérivée...

[LB2]

Effectivement il y a une astuce pour résoudre l'équation f'(x)=0.
Prenons la forme la plus simple f'(x)=2(cos(2x)-sinx).
f'(x)=0 ssi cos(2x)=sin(x).

On utilise la formule (ou , comme l'on veut).
L'idée c'est de n'avoir que des cosinus ou que des sinus, pour se ramener à une équation qu'on sait résoudre, du type sin(x)=sin(y) ou cos(x)=cos(y).

On obtient donc
Je te laisse continuer.

Indication : Si tu hésites pour résoudre cos(x)=cos(y), fais un cercle trigonométrique, et raisonne modulo 2 pi.

[Wolfchess]

Ah oui j'y avais pas pensé merci. J'étais en train de chercher une fonction trinôme.

Donc je trouve au final : π/6 + k.2π/3 ou -π/2 +k.2π

Comme solutions je trouve : (π/6 , 5π/6 , 3π/2 ).

Pour la fonction trinôme j'ai effectuer cos2x - sinx = 0
Cos²x - sin²x - sinx = 0
= 1- sin²x - sin²x - sinx = 0
je place t = sinx. J'obtiens un trinôme et j'obtiens les mêmes solutions. (heuresement haha).

Ensuite je dois donc placer ces valeurs dans mon tableau de signe.
Donc je dois les placer en fonction de cosx ? (si c'est le cas les valeurs π/6 et 5π/6 n'annulent pas la dérivée).
Parce que là il y a un problème. Dans mon tableau de signes de la dérivée dans la colonne entre π/6 et 5π/6 j'aurai un "+" et un " - " ?
Je sais que c'est faux mais je suis un peu perdu, ça me perturbe beaucoup

[Wolfchess]

*j'ai effectué

[LB2]

Reprenons dans l'ordre :

- L'étude de fonction se fait sur [0,2 ] par exemple, puisque la fonction est 2-pi périodique
- Tes valeurs de x dans l'intervalle [0,2 ] sont correctes : pi/6, 5pi/6, 3pi/2. Elles annulent bien la dérivée : vérifie!
- Tu places les signes en fonction de x, toujours!
- On obtient le tableau de variation en déterminant le signe de f entre ses zéros.
Ici, f' est de signe : + / 0 / - / 0 / + / 0 / +

Les 0 correspondant à x=pi/6, 5pi/6, 3pi/2

Ce qui t'interpelle (et c'est normal) c'est que f' ne change pas de signe entre chaque zéro : ça arrive parfois! A ce moment, le point ne correspond pas à un maximum ou minimum local de f. Par exemple, x=0 pour f(x)=x^3 annule la dérivée, mais ce n'est pas un extremum local.

De plus, l'intervalle d'étude [0, 2pi] n'est pas très bien choisi puisqu'il ne correspond pas aux extremum de la fonction. On aurait pu choisir par exemple [pi/6, 13pi/6] pour avoir le signal "de crête à crête".

Pour le graphe de g : http://m.wolframalpha.com/input/?i=sin% ... cos%28x%29

[Wolfchess]

Merci beaucoup. J'avais trouvé justement le signe de f'(x) mais j'hésitais pour le signe entre π/6 et 5π/6 et 5π/6 et 3π/2.

j'avais d'abord noté signe de f'(x) : +/0/+/0/ - / + mais ensuite lorsque je vérifiais avec d'autres x entre ces valeurs, (par exemple 2π/3 pour une valeur entre π/6 et 5π/6) je trouvais justement l'opposé.
Donc au final j'ai aussi obtenu +/0/ - /0/+/0+ .
Mais est-il possible de déterminer le signe entre les zéros sans chercher d'autres valeurs x à effectuer entre les zéros?(comme j'ai fait avec 2π/3 par exemple).
Voilà pourquoi j'ai d'abord eu comme premier tableau de signe : +/0/+/0/ - / + ->j'ai effectué le trinôme précédent : -2 sin²x - 2sinx +1
j'ai remplacé t=sinx
-> -2t²-t+1 et j'obtiens comme solutions -1 et 1/2 (qui donneront après π/6 , 5π/6 et 3π/2).
Comme tableau de signe pour ce trinôme (avec comme x : -1 et 1/2)
j'obtiens : 0 / + / 0 / - (avant -1 pas de signe car sinx est défini en [-1,1] .Juste?)
Et par rapport au tableau de signe qu'on obtient de la dérivée c'est différent. (sans doute parce qu'on divise 1/2 en 2 autres x -> π/6 et 5π/6 mais je ne vois pas le lien). Savez vous pourquoi ?

Donc au final vaut toujours mieux vérifier je suppose (évidemment) avec d'autres valeurs se trouvant entre les zéros comme vous m'avez dit mais le problème c'est justement ces "fausses routes" (là c'est mon tableau de signe du trinôme du second degré qui est différent de ma dérivée alors que j'ai juste remplacé t=sinx) qui me font perdre du temps. Je sais qu'il y a quelque chose que je loupe (tout bête sans doute) mais je n'arrive pas à savoir quoi).

[Wolfchess]

donc j'obtiens pour f(x) sur [0,2π] : 2↗ 3√3/2 ↘ -3√3/2 ↗ 0 ↗ 2

[LB2]

.
Mais est-il possible de déterminer le signe entre les zéros sans chercher d'autres valeurs x à effectuer entre les zéros?(comme j'ai fait avec 2π/3 par exemple).

Non, et j'ai oublié de le préciser, mais on détermine le signe entre les zéros en remplaçant par une valeur x
bien choisie pour laquelle on peut calculer facilement f(x)

Voilà pourquoi j'ai d'abord eu comme premier tableau de signe : +/0/+/0/ - / + ->j'ai effectué le trinôme précédent : -2 sin²x - 2sinx +1
j'ai remplacé t=sinx
-> -2t²-t+1 et j'obtiens comme solutions -1 et 1/2 (qui donneront après π/6 , 5π/6 et 3π/2).
Comme tableau de signe pour ce trinôme (avec comme x : -1 et 1/2)
j'obtiens : 0 / + / 0 / - (avant -1 pas de signe car sinx est défini en [-1,1] .Juste?)

Oui c'est juste. Mais ça c'est le signe de f'(x) en fonction de sin(x), et on veut le signe de f'(x) en fonction de x.
On peut "remonter" vers la solution en rajoutant la ligne sin(x) dans notre tableau de signes de f'(x), et en raisonnant sur des intervalles ou x->sin(x) est monotone.

On obtient que sin(0)=0, sin(pi/6)=1/2 (valeur remarquable dont on a besoin), sin(5pi/6)=1/2 (idem), sin(3pi/2)=-1 (idem)
et on retrouve bien le signe de f'(x) en s'aidant du cercle trigo, en parcourant l'intervalle [0,2 pi] dans le sens des x croissants, sin(x) est d'abord croissant pour entre 0 et pi/2 (sin(x) variant de 0 à 1), puis décroissant pour x entre pi/2 et 3pi/2 (sin(x) variant de 1 à -1), puis croissant pour x entre 3pi/2 et 2pi (sin(x) variant de -1 à 0).

Pour répondre à ta dernière remarque, il n'y a pas de rapport entre le premier et le deuxième point.

[Wolfchess]

Merci beaucoup pour tout ! Finalement vaut mieux utiliser la calculatrice et cogiter un peu plus haha. J'espère ne pas t'avoir gâché trop de temps x). Je reviendrai sans doute très bientôt avec d'autres questions x)
Bonne soirée !