A partir de relations fonctionelles TS

[xavierrff]

Bonsoir,
Pouvez vous me donner un coup de main svp!


F et g sont 2 fonctions dérivables sur R qui vérifient les propriétés suivantes.
(1) Pr tt reel x, (f(x))²- (g(x))² = 1
(2) Pr tt reel x, f(x)= g’(x)
(3) f(0) = 1


1. a. Démontrer que pr tt reel x, f(x) ;)0
b.Calculer g(0)

2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), demontrer que pour tout reel x, g(x)=f’(x)

3. On pose u = f + g et v= f – g

a/ Calculer u(0) et v(0)
b/ Démontrer que u’=u et v’= - v
c) Déterminer les fonctions de u et v

4.En déduire les expressions de f(x) et g(x)

MERCI!

[becirj]

Bonsoir
1. donc
b) f(0)=1 donc d'où g(0)=0

2) Il faut utiliser la dérivation de fonctions composées.

Comme g'(x)=f(x) , on a f'(x)f(x)-f(x)g(x)=0 soit f(x)(f'(x)-g(x))=0
Or pour tout réel x donc f'(x)-g(x)=0

Je te laisse poursuivre

[xavierrff]

ok. Pr la 3.
u=f+g
u(0)=f(0)+g(o)=1 et v=f-g v(0)=f(o)-g(o)=1
c'est sa?

[becirj]

C'est bien ça.
Pour la question 3.c) tu as à résoudre deux équations différentielles, il suffit d'appliquer le cours.

[xavierrff]

je trouve par deduction u(x)=e^x et v(x)=e^-x. Je ne vois pas d'equa diff ici! dela forme y'=ay ? la solution est Fk(x)=Ke^ax

[becirj]

Tes réponses sont correctes mais u'=u est une équation différentielle avec a=1 et v'=-v également avec a=-1

[xavierrff]

ouaip exact! merci. Par contre, je ne vois pas coment on en deduis f et g. On sait que f=u-g et g=f-v...Faut il se servir de sa?
merci

[becirj]

u=f+g et v=f-g donc u+v=2f et u-v =2g
On en déduit que f=1/2(u+v) et g=1/2(u-v)