Partie stable vs loi de composition interne

[doudia]

Bonjour,
Je n'arrive pas à faire la difference entre la notion de partie stable et celle de loi de composition interne. Si par exemple j'ai un ensemble F où × est commutative et je veux montrer que × est aussi commutative dans E (un ensemble appartenant à F different de l'ensemble vide) est ce que montrer que × est une loi de composition interne dans E est la meme chose que montrer que E est une partie stable de F? Quelqu'un peut m'expliquer la difference entre les deux si elle existe? Merci!

[chan79]

salut
Si tu démontres que E est stable, alors tu pourras affirmer x est commutative dans E.
En effet si axb=bxa pour tout couple (a,b) de FxF, on aura aussi axb=bxa pour tout couple de ExE

[doudia]

Oui et si je montre que × est une loi de composition interne dans E est ce que cela revient au meme? C'est juste que je n'arrive pas à faire la difference entre ces deux notions partie stable / loi de composition interne. et merciiii

[chan79]

On suppose que E est inclus dans F et que * est une loi de composition interne dans F
Si E est stable par *, ça veut dire que * est aussi une loi de composition interne dans E

[doudia]

La reciproque est vraie ? (Avec E inclue dans F...mes questions sont betes mais je viens de commencer le cours donc j'ai encore du mal désoléee)

[chan79]

Si on revient aux définitions
Soit F un ensemble muni d'une loi de composition interne * et E une partie non vide de F.
On dit que E est stable pour la loi * si pour tout couple (x,y) d'éléments de E, x*y appartient à E.
* est alors aussi une loi de composition interne dans E

[doudia]

Aaah d'accord! J'ai fini par comprendre merci infiniment

[Sylviel]

Si on prends un peu de recul on voit qu'on parle d'objets différents :
- une partie stable de F c'est un sous-ensemble de E qui vérifie des propriétés
- une loi de composition interne c'est une opération qui prends deux éléments de E et en fournit un autre
(une application de E^2 dans E)

Après, montrer que E est stable par * ou que * est une l.c.i sur E c'est la même chose.

[doudia]

Je voiiiis,c'est precisement ce que je cherchais merci!