T.S partie d'ex posant prob ! (d'ici 3 jours si possible)

[zzzzzzzzz]

Bonjour , dans un DM pour le Mercredi 27 novembre 2013 , j'ai un exercice contenant la sous partie suivante :

on a la suite U(n+1) = U(n)(2-U(n))

on suppose 1< U(0) < 2

Montrer que pour tout n appartenant à N* , 0 < U(n) < 1

J'aurais besoin d'une bonne piste de départ , un bon conseil quoi.. Je trouve vraiment pas

[Sa Majesté]

Salut
As-tu étudié les suites définies par U(n+1) = f(Un) ?

[zzzzzzzzz]

Oui , mais je vois pas ce qui pourrait m'aider

[zzzzzzzzz]

J'ai auparavant étudié les variations de x(2-x) sur R , ça pourrait m'aider ?

[Sa Majesté]

Ah ben oui, plutôt !
Quelles sont les variations de x(2-x) sur R ?

[zzzzzzzzz]

Croissante jusqu'à f(1) = 1 , puis décroissante jusqu'à +infini .
Elle est donc croissante pour x appartient à [0,1] et décroissante pour [1,2]

[zzzzzzzzz]

donc f(x) = 0 en x=0 et x=2

[Sa Majesté]

Oui et f(0)=0 et f(2)=0
Donc si tu prends un x dans [0,2], où est f(x) ?

[zzzzzzzzz]

f(x) > 0 pour [0,2] oui

[Sa Majesté]

Oui mais plus précisément, dans quel intervalle est f(x) ?

[zzzzzzzzz]

f(x) est dans [0,1] ?

[Sa Majesté]

Oui
Donc si U0 est dans [0,2] alors U1=f(U0) est dans [0,1]
Et donc U2=f(U1) est dans [0,1]
etc
Ça ne te donne pas l'idée d'une démo ?

[zzzzzzzzz]

Je vois ! ça reste un peu flou , et je dois aller manger , je verrais en sortant de table :/

[zzzzzzzzz]

mais ça suffit en terme de démo , ou je dois passer par la récurrence ? (je suis afk pour 30min +~)

[Sa Majesté]

Il faut passer par une récurrence

[zzzzzzzzz]

De retour , je réfléchis à la récurrence...

[zzzzzzzzz]

Est-ce que ce serait suffisant si j'écris la chose suivante :

je pose H(n) : 0 < U(n) < 1

initialisation : avec U0 est dans [0,2] alors U1=f(U0) est dans [0,1] (donc dans ]0,1[)

hérédité : si on suppose H(n) vraie , a-t-on H(n+1) : 0 < U(n+1) < 1 vraie
et ensuite d'évoquer les variations de f(Un) , et d'enchainer sur "donc U2=f(U1) est dans [0,1]"

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La question est en fait : Au niveau de l'hérédité , il me suffit de dire que grâce aux variations de f(x) , je sais que U1 = f(U0) est dans [0,1] , et donc que lorsque x est dans [0,1] , alors f(x) est dans [0,1] , donc u2 u3 u4 u5 seront dans [0,1]

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Et donc que U(n) est dans [0,1] , donc ]0,1[

[Sa Majesté]

La récurrence se fait en 2 étapes :
- initialisation : tu sais que U0 est dans ]1,2[ donc le tableau de variations de f permet de dire que U1=f(U0) est dans ]0,1[
- hérédité : soit k dans N* tel que Uk est dans ]0,1[, le tableau de variations de f permet de dire que U(k+1)=f(Uk) est dans ]0,1[