Partie entiere

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Ismail
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partie entiere

par Ismail » 25 Juin 2005, 18:38

slt
comment resoudre ceci :
E(x)+E(2x)+E(4x)+E(8x)+E(16x)+E(32x)=12345 :confused:



PaTaPoOF
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par PaTaPoOF » 25 Juin 2005, 20:39

Bonjour,
Je suppose que tu t'es trompé en écrivant E(8) au lieu de E(8x)... Mais est-ce vraiment du niveau lycée ??
Je n'ai pas de résolution analytique à te proposer, et je ne suis pas sûr qu'une solution réelle existe. Cependant, graphiquement on peut avoir une bonne approximation de la solution (je sais bien, on n'est pas en physique mais bon...), et on trouve 195.9999...<x<196.

Je doute que ce soit la bonne méthode, donc si quelqu'un a une meilleure solution à proposer...

Image

Alpha
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par Alpha » 25 Juin 2005, 21:47

Salut, Patou :D ,

Voilà ce que je propose :

En fait, d'abord, je suppose que x est un entier.

Donc je pose x=n.

Ma jolie :) équation devient alors

n + 2n + 4n + 8n + 16n + 32n = 12345

soit donc 63n= 12345.

J'effectue donc la division euclidienne de 12345 par 63, j'obitiens pour quotient... 195 et un reste non nul qui vaut 60.

Par conséquent, l'équation n'a pas de solution entière, mais x est un nombre supérieur strictement à 195 et inférieur strictement à 196 ( croissance de la fonction partie entière).

Donc, en procédant par conditions nécessaires, j'aboutis à cela : x est compris strictement entre 195 et 196. Cependant, il semble que ce soit une autre affaire, et autrement plus compliquée, de trouver la valeur de x !


Il faut peut-être utiliser certaines propritétés particulières de la partie entières... En tout cas, il me semble difficile de résoudre littéralement cette équation.

Celui qui a posé la question est-il sûr qu'on lui demandait une valeur exacte?



;)

cesar
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par cesar » 25 Juin 2005, 22:45

salutations,
je vous propose la methode suivante :

on pose E(X)= x-a avec a dans [0,1[

alors l'équation devient 63*X - 63*a =12345
donc

X = a + 12345/63 avec a variable de [0,1[ car dans l'enoncé d'ISMAIL, on ne dit pas si x est entier ou non.
mais l'intervalle [0,1[ ne convient pas tout entier pour a car 12345/63 à une partie decimale 195,95238095238095238095238095238...., il faut donc que
E(X) = E(195,952...+a)
si X> 196 alors E(x) = 196 et a = 195,952...+a -196 ce qui est impossible

si X = 196 alors a = 0 = 195,952...+a -196 ce qui est impossible

si x<196 alos E(X) = 195 et a = 195,952...+a -195, ce qui est encore impossible

donc l'equation n'a pas de solution dans notre cas (ce qui ne veut pas dire que ce genre d'équation n'a pas de solution....)

Alpha
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par Alpha » 25 Juin 2005, 23:22

Salut cesar,

je suis tout à fait d'accord avec cette ingénieuse résolution!


;)

PaTaPoOF
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par PaTaPoOF » 26 Juin 2005, 00:16

Bravo cesar, vraiment ingénieux en effet.

En fait, je suis bête car la solution que j'avais proposée montrait déjà que c'était impossible : il n'existe à ma connaissance aucun x réel strictement compris entre 195.99999999... et 196 ! ;)

Ismail
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???????

par Ismail » 26 Juin 2005, 00:31

ya quelque chose qui ne marche pas dans la methode de cesar:
si E(X)=X-a
cela ne veut pas dire que E(2x)=2x-2a , ce n'est pas toujours vrai!!!!

Ismail
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tentative

par Ismail » 26 Juin 2005, 00:56

x=E(x)+a alors E(x)=E(E(x)+a)=E(x)+E(a)
2x=2E(x)+2a alors E(2x)=E(2E(x)+2a)=2E(x)+E(2a)
et ainsi de suite....jusqu'à:
32x=32E(x)+32a alors E(32x)=E(32E(x)+32a)=32E(x)+E(32a)
en faisant la somme :
E(x)+E(2x)+....+E(32x)=63E(x)+E(a)+E(2a)+E(4a)+E(8a)+E(16a)+E(32a)
on va distinguer plusieurs cas de a: [0,1/32[ , [1/32,1/16[.....jsq [1/2,1[
cela apparait trop long mais ça a le merite d'etre tenté, je vais essayer de prolonger dans cette direction

cesar
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par cesar » 26 Juin 2005, 09:36

Ismail a écrit:ya quelque chose qui ne marche pas dans la methode de cesar:
si E(X)=X-a
cela ne veut pas dire que E(2x)=2x-2a , ce n'est pas toujours vrai!!!!

vindiou, tu as raison!!! je l'avais pas vu... cela n'est vrai que si n*a < 1

cesar
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par cesar » 26 Juin 2005, 09:39

Ismail a écrit:x=E(x)+a alors E(x)=E(E(x)+a)=E(x)+E(a)
2x=2E(x)+2a alors E(2x)=E(2E(x)+2a)=2E(x)+E(2a)
et ainsi de suite....jusqu'à:
32x=32E(x)+32a alors E(32x)=E(32E(x)+32a)=32E(x)+E(32a)
en faisant la somme :
E(x)+E(2x)+....+E(32x)=63E(x)+E(a)+E(2a)+E(4a)+E(8a)+E(16a)+E(32a)
on va distinguer plusieurs cas de a: [0,1/32[ , [1/32,1/16[.....jsq [1/2,1[
cela apparait trop long mais ça a le merite d'etre tenté, je vais essayer de prolonger dans cette direction


à faire un travail comme celui là, il y a un truc simple à faire : prend un plotter et fait lui tracer la fonction entre 195 à 195 + 40, en tabulant au 1/1000. cela devrait eclaicir les idées sur le probleme

Alpha
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par Alpha » 26 Juin 2005, 10:59

Salut,

Sans rire, il est vrai que j'ai eu un sacré doute au moment où j'ai lu

"l'équation devient 63*X - 63*a =12345",

mais n'ayant pas utilisé la partie entière depuis longtemps, et surtout, puisqu'il me semble que cesar est à un niveau d'études plus avancé que le mien, je ne me suis pas attardé sur ce doute que j'ai eu.

Car il est vrai, en admettant que "l'équation devient 63*X - 63*a =12345", les choses se résolvent bien plus simplement. En tout cas, si l'on admet cela, tout ce qu'à fait cesar est juste.

Mais pour résoudre rigoureusement le problème selon la méthode d'Ismail, cela semble en effet assez long...

;)

tristan
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par tristan » 26 Juin 2005, 14:35

L'idée de césar est pas mauvaise, à savoir poser x = [x] + a avec .

L'équation devient 63[x] + [2y] + [4y] +... +[32y] = 12345.

Comme l'a dit alpha , 12345 = 63*195 + 60, donc il n'y a pas de solutions.

On peut aussi remarquer que [x] + [2x] + [4x] etc.... pour x=196 ça donne 12348. Donc Si x<196 chacun des termes de la somme diminue d'au moins 1, et la somme est donc inférieure à 12345.

cesar
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par cesar » 26 Juin 2005, 15:48

salut à tous,

j'ai refait mes calculs, justes cette fois (du moins j'espere...).

on a sur l'intervalle [195+31/32, 196[ la valeur pour la fonction :

63*195 + 1+3+7+15+31=12342
et pour
X = 196, on trouve 12348

par ailleurs, j'ai fait le graphe au plotter : la fonction se presente comme une serie de marches d'escalier.Mais il est visible (c'est pas tres mathematique, mais à mon avis cela se demontre sans trop de probleme), que la fonction est croissante : si X
ps: ne vous fiez pas à mon niveau en maths, je peux me tromper comme tout le monde.....

tristan
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par tristan » 26 Juin 2005, 20:27

il y a une "marche" de discontinuité à X= 196, on passe directement de la valeur 12342 à 12348
Exact, et ça se justifie par la fait que f(196)=12348 et que si x<196 chacun des termes de la somme diminue d'au moins un. Il y'a 6 termes et ont a bien 12348 - 6 = 12342. Il suffit de conclure en remarquant que f est croissante sur R comme somme de fonctions croissantes sur R.

 

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