Parités fonctions ?

[Starmac]

Bonsoir ,
Je suis en première S et j'ai un problème pour deux questions :
1)Soit f et g deux fonctions impaires définies sur R- {0}
Etudier la parité de la fonction F+g, Fg et F rond g
Si quelqu'un pourrait m'expliquer ça serait sympathique.

Dans un autre exercice j'ai aussi un problème:
Soit F la fonction définie sur R- {1} par F(x)=1/(x-1)
En utilisant le taux d'accroissement de F entre 2 et 2+h,montrer que F est dérivable en 2 et déterminer son nombre dérivé au point d'abscisse 2.
Je ne trouve pas que F est dérivable en 2 et le nombre dérivé je ne voix pas quelle est la différence entre taux d'accroissement et nombre dérivé.
Merci

[Sapphire]

La fonction F et la fonction f du 1) sont elles les memes ? Erreur de frappe ?

[Starmac]

Non désolé j'ai oublié de préciser c'est deux questions dans deux exercices différents.

[Sapphire]

D'accord, mais dans le 1), tu parles de trois fonctions :

1)Soit f et g deux fonctions impaires définies sur R- {0}
Etudier la parité de la fonction F+g, Fg et F rond g
Si quelqu'un pourrait m'expliquer ça serait sympathique.

La fonction f et F sont les mêmes ? J'imagine

[Starmac]

Oui,exact.Excusez moi de ne pas avoir mis une majuscule dans l'énoncé.

[Sapphire]

Connais tu la definition d'une fonction impaire ? Et d'une fonction paire ?

[Starmac]

Oui:
Une fonction est paire si f(-x)=f(x)
et une fonction est impaire si f(-x)=-f(x)
avec comme autres conditions:x appartient Df et -x aussi.

[Sapphire]

Voilà. Avec ces définitions sous la main, as-tu essayé de te débouiller ?

[Starmac]

Oui mais je ne vois vraiment pas comment faire car il n'y a pas du genre f(x)=xcarré.C'est un exemple et sans ça je ne vois comment faire.

[Sapphire]

Calcule (f+g)(x) pour x appartenant à Df.

Remplace ensuite grâce aux hypothéses de départ (f et g sont impaires).

[Starmac]

(f+g)(x)= ?
Je dois être bête parce que là je ne vois vraiment pas ce qu'il faut mettre après ?
Et est-ce que si g et f definies sur R- {0}, g+f définie aussi sur R-{0} ??

[Sapphire]

Je dirais que oui.

(f+g)(x) = f(x) + g(x) ...

[Starmac]

(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x) ? ...
Je bloque je n'arrive pas à trouver. :mur:

[Sapphire]

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

f et g sont impaires donc, avec x appartenant à Df et Dg d'ailleurs, on a :

f(x) = -f(x) et g(x) = -g(x)

[Starmac]

f(x) = -f(x) et g(x) = -g(x)

(f+g)(x)=-f(x)+{-g(x)}
=-f(x)-g(x)
=-{f(x)+g(x)}

Donc impaire ???

[Sapphire]

Ca me parait bon :++:

[Starmac]

Et fg(x)=-f(x)*{-g(x)}
=fg(x)
donc paire ?

et pour f rond g:
f rond g(x)=f{g(x)} et après ?

[Sapphire]

Hola excuse moi j'avais la tete ailleurs hier soir ..

Pour (f+g)(x) :
Pour x et -x appartenant à Df et Dg, on a :

(f+g)(x) = f(x) + g(x)
= -f(-x) - g(-x) , car f et g sont IMpaires
= -(f+g)(-x)

Donc elle est aussi impaire.

Pour (fg)(x) :
Pour x et -x appartenant à Df et Dg, on a :

(fg)(X) = f(X) x g(X)
= -f(-X) x [-g(-X)]
= (fg)(-X)

Donc plus généralement, on a : F(x) = F(-x)
Avec ta définition, on en conclut que fg est paire.

Je te laisse essayer pour fog, si tu as un problème je suis là ;)

[Starmac]

Frondg(x)=F{g(x)}
=f{-g(-x)}
=-frondg(x) ?

[Sapphire]

Pas exactement.
N'oublie pas de présenter x, c'est important :we:

Pour x appartennant à Df et Dg (jappelle DF et Dg les ensembles de définition respectifs de f et g), on a :
"o" --> "rond"

f"o"g = f[g(x)]
= f[-g(-x)]
=-f[-[-g(-x)]]
=-f[g(-x)]
=-f"o"g(-x)

Je te laisse conclure.
Je crois que c'est ça ...