Parite réelle et partie imaginaire

[Shigeaki]

Bonjours

On a : z' = ((1-i) (z-i)) / (z-1)
et on pose z = x + iy

Comment faire pour déterminer la partie réelle et imaginère de z' en fonction de x et y

Merci de me réponde

[Ericovitchi]

Tu fais le produit en haut et en bas, pour te débarrasser du i au dénominateur tu multiplies par la quantité conjuguée.
c.a.d que ton x-1+iy qui est en bas tu le multiplies (en haut et bas) par x-1-iy ce qui te fais un (x-1)²+y² en bas et plus de i

[Shigeaki]

Oui, mais cela ne nous permet pas de déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z' ?

[Ericovitchi]

Ben si. A partir du moment où tu n'as plus de i au dénominateur. Tout ce qui a un i au numérateur est la partie imaginaire et tout ce qui n'en pas est la partie réelle.

[Shigeaki]

d'accord, donc, on obtient :

z' a pour partie réelle : (x² - 2x + 1 + y² - 2y - ix²) / (x² - 2x +1)
et a pour parrie imaginaire : ( i (1 - x² - y²)) / (x² - 2x +1)

z' = (x² - 2x + 1 + y² - 2y - ix²) / (x² - 2x +1) + ( i (1 - x² - y²)) / (x² - 2x +1)

C'est juste ? Ca me parait un peu compliqué...

[Ericovitchi]

Tu as encore du i dans ta partie réelle.

Et ton dénominateur ne peut pas être ça, c'est forcement le (x-1)²+y² que je t'ai déjà signalé

[Shigeaki]

Oups, petit erreur de transcription

z' a pour partie réelle : (x² - 2x + 1 + y² - 2y) / (x² - 2x +1)
et a pour parrie imaginaire : ( i (1 - x² - y²)) / (x² - 2x +1)

z' = (x² - 2x + 1 + y² - 2y) / (x² - 2x +1) + ( i (1 - x² - y²)) / (x² - 2x +1)

en ce qui concerne le dénominateur, tu as raison, j'ai fait une erreur de calcul

donc , on trouve :

z' = (x² - 2x + 1 + y² - 2y) / ((x-1)²+y²) + ( i (1 - x² - y²)) / ((x-1)²+y²)

Ca te paraît bon ?

[Ericovitchi]

Presque. C'est +2x et pas -2x dans la partie réelle

[Shigeaki]

c'est la seul erreur ? Tu es sur, car quand je reprend mon calcul, c'est bien
-2x

[Ericovitchi]

ha oui pardon c'est bien -2x. Donc tout est bon

[Shigeaki]

Et ben, Merci à mon sauveur

[Shigeaki]

j'en rajoute une peite couche, sur ce que j'ai déjà trouvé.

Soit un repère hotyonormal du plan et soit A(1), B(i), z et z' deux nombres complexes d'image respective M et M'

L'ensemble des points M(z) tels que Re(z') = 0 sont les points tels que :
(x - 1)² + (y - 1)² = 1

L'ensemble des points M(z) tels que Im(z') = 0 sont les points tels que :
-x² - y² = 1

On ne peut pas aller plus loins ? Et est - ce bon ? En plus, je ne vois pas comment ça se traduit en therme géométrique

[Shigeaki]

si, en fait, j'ai trouvé :

L'ensemble des points M(z) tels que Re(z') = 0 sont les points tels que :
(x - 1)² + (y - 1)² -1 = 0
Soit, les points du cercle de centre I(1;1) et de rayon 1

L'ensemble des points M(z) tels que Im(z') = 0 sont les points tels que :
-x² - y² -1 = 0
Soit, les points du cercle de centre l'origine et de rayon 1

C'est ça ? Merci d'avance

[Ericovitchi]

-x² - y² = 1 c'est x²+y²=-1, un carré n'est jamais négatif donc il n'y a pas de points qui conviennent. Ca n'est pas un cercle.

[Shigeaki]

d'accord merci beaucoup une fois de plus :we: