Parité des fonctions

[Nastya9307]

On considère une fonction définie sur R
Soient g et h deux fonctions définies sur R par: g(x)=1/2(f(x)+f(-x)) et h(x)= 1/2(f(x)-f(-x))

1.Montrez que toute fonction f définie sur R, peut s'écrire commela somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.


2. Montrer que si une fonction impaire f est definie pour x=0, alors f(0)=0


Pour 1, voilà ce que j'ai fait:

1/2(f(x)+f(-x))+ 1/2(f(x)-f(-x))

1/2( (f(x) + f(-x) ) + ( f(x) - f(-x) ) )

j'arrive là: 1/2*( f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x) )

ou peut etre il faut faire qqch avec f(-x) = f(x)
f(-x)= - f(x)

je vous remercie à l'avance

[Sa Majesté]

Pour 1, voilà ce que j'ai fait:

1/2(f(x)+f(-x))+ 1/2(f(x)-f(-x))

1/2( (f(x) + f(-x) ) + ( f(x) - f(-x) ) )

j'arrive là: 1/2*( f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x) )

Jusque là c'est bon
Tu peux simplifier cette expression

[Purrace]

qu'as tu fait

[Nastya9307]

je me bloque là...montrez-moi s'il vous plait, comment on peut simplifier ça?

[Sa Majesté]

Il n'y a rien de compliqué
f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)
f(x) + f(x) ça fait quoi ?
f(-x) - f(-x) ça fait quoi ?

[Nastya9307]

f(x) + f(x) = 2f(x)?
f(-x)-f(-x) = 2f(-x)?

2f(x)+2f(-x) = 0?

1/2*0=0?

c'est bien ça? :hein: :id:

[Sa Majesté]

Y a du bon et du faux ...

[Nastya9307]

ah ouiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

f(x) + f(x) = 2f(x)

f(-x)-f(-x) = 0

1/2 * (2f(x) + 0)=

1/2*2f(x) + 0 =

1f(x)= f(x)

démonstration terminée!!!!!
merci beaucoup!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Nastya9307]

et pour le 2 "Montrer que si une fonction impaire f est definie pour x=0, alors f(0)=0"

comment je dois rédiger?

f(-x) = -f(x)
f(-x) + f(x) = 0

[Sa Majesté]

Tu as f(-x)=-f(x)
Tu prends x=0 et c'est plié