Le pari de Roméo et Juliette

[benekire2]

Bien oui il y a plus simple ,



Bon je sens la réponse "c'est un peu magique .. " arriver :we: mais non en fait :

d'après la question précédente ...

EDIT. Merde Ben est arrivé avec une méthode ausi rapide (voire plus ... ) que la mienne , pas de chance sur ce coup là il gagne, surprenant non :ptdr:

[Le Chaton]

Calculons ça



( d'après la technique de Rebelle_ du premier message :p ) du coup

[Rebelle_]

Alors, je regarde vos trois réponses.

Ben314 : il m'a quand même fallu écrire les étapes pour comprendre mais ça va ^^'

Benekire2 : en effet ça semble magique mais après avoir lu le message de Ben314 ça passe mieux :)

Le Chaton : je n'y avais même pas pensé :( J'aurais dû essayer de partir de la même méthode que celle que j'avais faite en 1.

Merci pour vos réponses toutes trois élégantes :P Au moins on a le choix là xD

[Olympus]

Bonsoir !

Par équivalences, et en partant du fait que et sont strictement positifs :






Cette dernière est évidente .

Connaissant ce classique, les questions suivante seront : variations des deux suites, montrer qu'elles convergent vers la même limite, et ensuite déterminer cette dernière .

[Ben314]

Connaissant ce classique, les questions suivante seront : variations des deux suites, montrer qu'elles convergent vers la même limite, et ensuite déterminer cette dernière .

Ah, là, si tu connait la réponse, ça m'interesse....

D'ailleurs, s'il y en a qui veulent chercher du "pas totalement évident", une fois que l'on sait que la limite existe pour tout a,b>0, on peut noter L(a,b) cette limite, poser F(x)=L(1,x) puis :
1) Montrer que L(a,b)=a.F(b/a)
2) Etudier la fonction F (continue ? dérivable ? variations ? deux fois dérivable ? f'(1)=? f"(1)=? limite en 0 ? limite en +oo ? équivalent en +oo ? etc)

(En fait, cette fonction est utile pour... calculer trés rapidement les décimales de Pi...)

[Le Chaton]

Bonsoir !

Par équivalences, et en partant du fait que et sont strictement positifs :






Cette dernière est évidente .

Connaissant ce classique, les questions suivante seront : variations des deux suites, montrer qu'elles convergent vers la même limite, et ensuite déterminer cette dernière .

La dernière équivalence n'est pas évidente surtout si on a

[Olympus]

@Ben314 : ouép j'ai confondu avec un autre exercice similaire ... Je commence à dire du n'importe quoi ces derniers temps :zen: Effectivement, le calcul de cette limite n'est pas évident . J'essaierai avec tes questions intermédiaires ( 1ère déjà faite, deuxième pas encore touchée ) .

@Le_Chaton : euh j'ai pas pigé ( surtout que t'as renversé l'inégalité ), il me semble justement qu'on a ( bon ok dans ma preuve j'ai supposé l'inégalité stricte sans le dire, car sinon l'inégalité devient évidente ) .

[Le Chaton]

@Ben314 : ouép j'ai confondu avec un autre exercice similaire ... Je commence à dire du n'importe quoi ces derniers temps :zen: Effectivement, le calcul de cette limite n'est pas évident . J'essaierai avec tes questions intermédiaires ( 1ère déjà faite, deuxième pas encore touchée ) .

@Le_Chaton : euh j'ai pas pigé ( surtout que t'as renversé l'inégalité ), il me semble justement qu'on a ( bon ok dans ma preuve j'ai supposé l'inégalité stricte sans le dire, car sinon l'inégalité devient évidente ) .

Juste une divagation de ma part ... je voulais juste préciser en fait que ton équivalence était pas toujours vraie ... dans le sens ou, si on a bah ça marche plus ... et ta preuve ne prend pas en compte le cas ou

[benekire2]

@Olympus+Ben , j'ai fais un exo sur la moyenne arethmetico geométrique et a la fin on évoque le lien sombre avec les intégrales elliptiques, intéressant,

[Rebelle_]

Hello tout le monde ! =)

Vous avez raison pour la suite de l'énoncé en ce qui concerne la limite Mais il nous reste une question ou deux avant ça. Vous savez quoi, j'ai appris à me servir du LaTeX, on va voir ce que ça donne ^^'

Alors, la troisième question nous demande de montrer que, pour tout n naturel, on a bien

J'ai d'abord noté que d'après les questions précédentes on avait
Ensuite, je veux montrer que
J'ai décidé d'établir une récurrence.

Soit la propriété

Au rang 0, on a vrai d'après l'énoncé. La propriété est initialisée.

On pose un p fixé naturel tel que la propriété soit vraie au rang p. On a donc

Montrons que la propriété est vraie au rang p+1, soit que

D'après les questions précédentes, on a et par hypothèse

On a donc soit exactement ce qui est la propriété au rang p+1.

La réucrrence est terminée, la propriété est vraie pour tout n naturel, on a donc bien

Verdict : nous sommes tous les deux d'accord pour cette question ^^'

Qu'en pensez-vous ?

[Olympus]

Salut Rebelle !

D'après les questions précédentes, on a et par hypothèse

Voilà corrigé un petit détail ^^

Sinon, ouép la preuve me va . On peut aussi voir que, d'après la question précédente :



On multiplie membre par membre ( ce qui est légitime car ) et on aura :

.

[Rebelle_]

Merci pour ta correction, tu as raison, je suis allée un peu vite avec le copié / collé :)
Sinon oui ta méthode est plus rapide, c'est une sorte de récurrence aussi non ?

[Sylviel]

C'est une recurrence, et la même que la tienne. Mais comme tu écris beaucoup pour faire une récurrence propre (on peut le faire plus vite, à condition de ne pas faire d'erreur), ça prend plus de temps.

[Rebelle_]

D'accord merci, je vais corriger tout ça =)

[Ben314]

C'est le genre de truc qui, une fois qu'on a bien compris comment ça ce rédige proprement par réccurence, devient :
On sait que, pour tout n, on a , donc
.