Le pari de Roméo et Juliette

[Rebelle_]

Salut,

Je m'appelle Romain. Je squatte (avec sa permission, elle est juste à côté) le compte de Juliette. Le truc c'est qu'on fait ensemble un exercice de maths et qu'on est pas d'accord sur la manière dont il faut y répondre.
Je vous donne l'énoncé puis la version de Ju' et la mienne.
Vu qu'on a fait un pari ce serait bien que vous soyez les arbitres lol !

Soient a et b deux réels strictement positifs. On définit les suites et pour tout n dans de la manière suivante :



La première question demande de considérer pour montrer que :

On a décidé de commencer par montrer que

Méthode de Juliette

On étudie le signe de .
On a , or

Méthode de Romain

Je décide de m'inspirer de la suite de l'exercice qui traite de moyennes pour faire une petite récurrence sur n. L'énoncé m'indique que c'est-à-dire que . Si j'appelle la propriété définie pour tout n naturel telle que elle est initialisée d'après l'énoncé.

Pour montrer l'hérédité, je décide de fixer et quelconques.
Je peux donc établir le raisonnement suivant :



Ce qui est
Par récurrence j'ai donc

Voilà pour ce qui est de la première question. Pour les autres on arrive à ne pas s'entretuer, encore qu'on ait pas encore fini l'exercice.

Alors, qui c'est qui se lève pour préparer le petit déjeuner demain matin ?

Merci.

PS : le titre c'était son idée

[Sylviel]

tien l'Amoureux :lol3:

Je suis d'accord avec la méthode de Juliette (au signe près dans le carré, mais j'imagine que c'est une faute de frappe)

Romain ta méthode (telle quelle) a un soucis au passage de
( )² > ( )²
à
( ) > ( )

a vous de trouver pourquoi...
cependant elle fonctionne presque, donc ce n'est pas perdu ! En revanche tu fais une récurrence inutile (pour le moment) ta preuve est directe et ne nécessite pas l'hypothèse de récurrence...

P.S : il y a très souvent plusieurs manières de démontrer un résultat, pas de quoi s'entre tuer pour autant ;-)

[Le_chat]

C'est grosso-modo la même idée, utiliser l'identité (a-b)^2=a^2-2ab-b^2... Les deux méthodes me paraissent correctes... la première est plus rapide...

A signaler pour la 1ere methode: vous avez montré an;)bn pour n;)1... Il faut signaler que c'est juste aussi pour n=0 (donné dans l'énoncé)
Vous pouvez alors remarquer que, même sans supposer a;)b, la suite an sera supérieure à bn à partir du rang 1.

Pour la seconde méthode, il y a un passage à la racine litigieux :lol3: faudrait montrer avant que an et bn sont toujours positives, et ça se fait encore par récurrence...

[Arnaud-29-31]

Re bonsoir vous deux,
Dans les deux méthodes on retrouve la même chose : la comparaison de et .

Pour la méthode de Juliette, le fait que s'exprime comme un carré montre bien que
Donc et on raccorde pour n = 0 puisqu'on sait que .

Malheureusement comme j'ai peur de me faire gronder (encoooore) par Juliette, je vais critiquer la rédaction de Romain.
Tout d'abord, lorsque tu dis "je décide de fixer et quelconques", pourquoi ne dis-tu pas simplement soit ... je ne vois pas trop ce que tu entend par cette phrase ...
Ensuite, ta récurrence ne sert strictement à rien, à aucun moment tu n'utilises l'hypothèse de récurrence et d'ailleurs si tu avais , ta soit disant hypothèse de récurrence ne serait pas vérifiée pour n = 0 et pourtant on aurait quand même .

Voili voilou

[Sylviel]

Dis donc Juju t'as du succès ^^ ! Bon au moins on est tous d'accord... Par contre chaton :--: ils sont grand, on aurait pu les laisser trouver tous seul pourquoi ça ne va pas chez Romain. (c'est pas méchant hein...). Allez, j'arrête de flooder ce topic.

[Arnaud-29-31]

Pour la seconde méthode, il y a un passage à la racine litigieux :lol3: faudrait montrer avant que an et bn sont toujours positives, et ça se fait encore par récurrence...

On part de 2 nombres strictement positifs et on parle de leur moyenne arithmétiques et géométrique, pour moi il suffit simplement d'écrire en début d'exercice qu'il est bien sur évident sur et sont strictement positifs pour tout n.

Si on considère que cela n'a pas été fait alors la première méthode aussi possède un problème quand on écrit ou !

[Le_chat]

Sylviel, ce n'est pas le_chaton, c'est le_chat :zen: je suis son père! (Sinon,je suis vraiment désolé, je ne savais pas qu'il y avait un pseudo similaire au mien quand je l'ai créé...Il y a longtemps)


@arnaud: Je suis d'accord, mais je crois qu'en Tle il faut le marquer... Je sais bien qu'ils savent le faire :ptdr:

[Sylviel]

@Le Chat : sorry, j'ai pas fait attention ;-) C'est aussi que dans un autre post chaton avait eu "peur" de se faire engueuler par moi, je jouais là dessus...

@ arnaud : effectivement, mais si je pense que ces deux là ne feront jamais l'erreur de nous faire une racine négative, on oublie plus facilement que x² est décroissante sur R-, c'est pour ça que je voulais le souligner.

Sinon on peut aussi dire : an est la moyenne arithmétique, et bn est la moyenne géométrique de deux nombres positifs (encore une fois, faudrait le démontrer), donc an >=bn (c'est bien connu, non :zen: )

Pour les deux à l'origine du post : ces inégalités de moyennes sont très largement connu et utilisés. Il y a une troisième moyenne, dite harmonica : 1/c = 1/a + 1/b, que l'on peut rajouter dans les inégalités (je vous laisse chercher ?)

[Arnaud-29-31]

Bein je dis juste que si on considère que le fait de ne pas avoir précisé que et sont strictement positifs pour tout n pèche dans un cas alors il pèche forcement dans l'autre.

[Ben314]

Salut,
Vu que tout le monde "met son grain de sel", ben... je met aussi le mien :
Je ne fait absolument aucune différence etre les deux méthodes vu que... c'est la même chose mais pas écrit dans le même ordre.
Même la remarque de Sylviel concernant le passage de ( )² > ( )² à ( ) > ( ) ne me parrait pas pertinente : tout le monde (y compris moi) trouve qu'il "coule de source" que tout les an et bn sont positif. La preuve, c'est que je n'ai rien vu comme remarques concernant le fait que l'on ait le droit d'écrire racine(an) ou bien racine(bn). Cela signifie que, sans preuve (tellement c'est évident), on considère que les an et les bn sont >0 (et vu qu'on a rien écrit au moment où on s'est autorisé à prendre la racine de an ou de bn, ben je vois pas pourquoi on en écrirait plus à ce moment là...)


En résumé, du fond du coeur, je vote "match nul"...

[Arnaud-29-31]

Ben t'es fou dis pas ça !! Tu sais pas de quoi Juliette est capable :doh:
Vote Juliette allez vote Juliette, c'est pour le bien du forum :ptdr:

[Le Chaton]

Dis donc Juju t'as du succès ^^ ! Bon au moins on est tous d'accord... Par contre chaton :--: ils sont grand, on aurait pu les laisser trouver tous seul pourquoi ça ne va pas chez Romain. (c'est pas méchant hein...). Allez, j'arrête de flooder ce topic.

Même quand je fais rien je me fais huer

[Rebelle_]

Re =)

C'est Juliette :P
Yeeeeesssss ! J'ai gagné :D Hihi, demain c'est moi qui glande au lit =D

Plus sérieusement, pour sa défense il dit qu'il a simplifié la rédaction. Bien sûr on est au courant qu'on ne peut pas prendre la racine négative d'un élément dans R ; et ici il précisait bien qu'il était dans N. Comme N est inclus dans R et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur R l'implication est justifiée. (C'est lui qui le dit hein ^^')

Ne vous entretuez pas non plus, on en est qu'à la première question :D
Merci pour vos réponses d'ailleurs :P Il se pourrait bien qu'on vous en redemande à ce propos parce que ça nous arrive souvent de jouer comme ça (couple étrange je sais xD)

:)

PS Arnaud : c'est bien, tu as bien compris la leçon, depuis le temps ;D

[Sylviel]

Bon d'accord, je m'incline, c'est tout pareil. Sauf qu'au moins Ju' n'a pas prétendu avoir besoin de faire une récurrence pour l'inégalité :p. Donc je maintien mon vote (pour le bien du forum).

[Arnaud-29-31]

J'hallucine, tu repost sur le forum (ca signifie donc que t'as posé tes tites fesses devant l'ordi) sans passer par la case msn :o

[Rebelle_]

C'est encore Ju' (je précise maintenant, on ne sait jamais XD)
Ben je trouvais ça trop compliqué sa méthode par récurrence et puis ça sentait pas bon ;D

Merci pour vos réponse :)

On vous passera la question suivante, pour l'instant on arrive pas à rédiger correctement ^^'

[Rebelle_]

C'est re Romain, pour la deuxième question. Cette fois-ci la miss semble d'accord avec moi, enfin au moins elle ne voit pas où cela serait faux.
Vous aviez raison en fait pour l'autre, je me suis pris la tête pour rien !

La deuxième question nous demande de montrer que pour tout n naturel on a :

J'utilise une technique un peu artisanale, mais j'espère que cette fois ça marchera.

On déroule le raisonnement suivant en se basant des relations établies à la question précédente :



Je reconnais que c'est totalement inélégant mais bon, au moins je pense que c'est juste ? Il y a sûrement mieux.

[benekire2]

Une remarque au passage quand même : Je trouve ça formidable qu'un tel exo (classique) soit traité en Terminale, en tout cas c'est surement pas dans mon lycée qu'on aurait droit a un exo de ce type ... et pour être franc très peu auraient été capables de remarquer l'identité (pourtant remarquable :we: ) dans votre (puisque vous êtes deux :zen: ) preuve (qui est exactement la même soit dit en passant).

Sinon pour le dernier message ça ma va, maintenant on veut la preuve de juliette :ptdr:

[Rebelle_]

^^' C'est un exercice amusant oui, on va passer un super vendredi soir =P
Je n'ai pas de preuve particulière, je suis d'accord avec l'Amoureux (a)

Non mais en fait je pense qu'il y a moyen de le faire par récurrence mais je ne vois pas vraiment comment ; c'est juste parce que ça me rappelle une des questions d'un DM de math qu'on a eu il n'y a pas longtemps. La technique était de majorer la suite à droite (ici ce serait a_n - b_n) mais...
On vient de vérifier mais ce n'est pas tout à fait la même chose et c'est pour ça que je ne suis pas sûre de ce que je dis. :)

[Ben314]

Si vraiment tu veut aller vite, part du résultat :
Montrer que revient à montrer que c'est à dire que ce qui est vrai.