Paradoxe de Xénon

[xCindyXOXOx]

Sujet :
A priori, la somme d’un nombre infini de longueurs serait une longueur
infinie.
Au Vème siècle avant JC, le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) nous
exprime qu’il peut en être autrement.
Achille, célèbre pour sa rapidité, court à vitesse constante sur un
chemin de longueur 1. Achille doit d’abord parcourir la moitié de la
longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante (1/4) et ainsi de
suite en poursuivant ce processus de division à l'infini.
1) a) Calculer la distance parcourue après le 2e étape de sa course, puis après la 3e et la 4e étape. Que constate-t-on ?
b) Exprimer en fonction de n, la distance dn parcourue après la énième étape.
2) Démontrer que pour tout entier n, on a : dn = 1 - (1/2^n)

3) a) En déduire que pour tout entier n, dn est inférieur à un entier à déterminer.
b) Expliquer alors le paradoxe donné par Zénon


Où j'en suis :
Pour la question 1 j'ai trouvé :

d1 = 1/2
d2 = 1/2 * 1/2 + 1/2 = 1/4 + 1/2 = 3/4
d3 = 1/4 * 1/2 + 3/4 = 1/8 + 3/4 = 7/8
d4 = 1/8 * 1/2 + 7/8 = 1/16 + 7/8 = 15/16

On constate que les résultats ne sont jamais égal à 1.

b)dn+1 = (1-dn) * 1/2 + dn

Je n'ai pas compris la question suivante pouvez vous m'aider ?

[siger]

bonsoir

tu n'a pas compris que on a, pour tout n, dn = (1-1/2^n).....
parceque ton calcul est complique et ne met pas en evidence une relation simple
d1. = 1/2
d2 = d1 + 1/4 = d1 + (1/2)^2
d3 = d2 + 1/8 = d2 + (1/2)^3
.....'
dn = d(n-1) + (1/2)^n

dn est donc la somme d'une serie de n terme (1/2)^m
donc (sauf erreurs) dn = ( 1-(1/2)^(n+1))/(1-(1/2))
.....

[xCindyXOXOx]

bonsoir

tu n'a pas compris que on a, pour tout n, dn = (1-1/2^n).....
parceque ton calcul est complique et ne met pas en evidence une relation simple
d1. = 1/2
d2 = d1 + 1/4 = d1 + (1/2)^2
d3 = d2 + 1/8 = d2 + (1/2)^3
.....'
dn = d(n-1) + (1/2)^n

dn est donc la somme d'une serie de n terme (1/2)^m
donc (sauf erreurs) dn = ( 1-(1/2)^(n+1))/(1-(1/2))
.....

Bonsoir,

Je ne comprend pas votre dernier calcul, c'est pour quel question s'il vous plait

[siger]

question2

dn = (1/2) + (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 +......+ (1/2)^n
......

[xCindyXOXOx]

question2

dn = (1/2) + (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 +......+ (1/2)^n
......

Oui cela je comprend mais pourquoi : dn = ( 1-(1/2)^(n+1))/(1-(1/2))

[siger]

mille excuses!
il y a une erreur dans le resultat que je t'ai donne ( qui suppose une somme commençant par 1 et non par 1/2)
dans le cas general le bon raisonnement est le suivant
S= somme de a+a^2+a^3+...+a^n
S = (a-a^( n+1))/(1-a)='a*(1-a^n)/(1-a)