Bonjour, à la demande de Benekire2, je vous propose un exercice un peu long bien qu'assez guidé, amusez-vous bien :++: .
)
est un repère orthonormal. A tout point
de coordonnées
)
, on associe l'équation du second degré d'inconnue
,
)
.
1°)a) Démontrer que "
" équivaut à "l'équation que
a deux racines".
b) Tracer, dans le repère
, la parabole
d'équation
, puis représentez graphiquement l'ensemble des points
)
pour lesquels
a deux racines distinctes, puis ceux pour lesquels
a une racine double, enfin ceux pour lesquels
n'a pas de racines.
2°)
est un point de
d'abscisse
. Prouver que la tangente à
en
a pour équation
.
3°)
Question intermédiaireOn se propose de trouver à quelle condition nécessaire et suffisante, une droite
d'équation
, avec
, est tangente à
.
a) Prouver que si
est tangente à
au point
)
, alors
et
.
b) Réciproquement, prouver que la droite
d'équation
,
, est tangente à
au point de coordonnée
)
. En conclusion, dire que "la doite
d'équation
est tangente à
" équivaut à dire que
. Et dans ce cas, le point de contact a pour coordonnées
.
4°) On considère les équations :
)
:
et
)
:
.
a) Vérifier que
et
ont une racine commune.
b) Placer sur la figure les points
et
associés à
et
, et demontrer que la droite
)
est tangente à
.
5°) D'une manière plus générale, on considère les équatiuons :
:
et
:
, et on suppose que ces équations ont une racine commune
. On note toujours
et
les points associés à ces équations. On suppose
.
a) Exprimer
en fonction de
et
, et
en fonction de
et
.
b) En déduire que
a pour équation
et qu'elle est tangente à la parabole
. Préciser les coordonnées du point de contact.
6°) Réciproquement, on suppose que les points distincts
)
et
)
sont tels que la droite
est tangente à
.
Les équations
et
ont-elles au moins une racine commune ?
Est-il possible que
et
aient deux racines communes lorsque
ou
?
