[1ère S] "Parabole et familles de droites" (dérivation)

[Yumeno]

Bonjour,

C'est encore moi ! La prof de Maths nous a donné un petit exercice mais je bloque à une petite question... Voici l'énoncé :

Dans un repère, P est la parabole d'équation y = x². m est un réel est M est le point de P d'abscisse m.

a) a est un réel, écrire l'équation de la droite delta passant par M et de coefficient directeur a. FAIT

b) Démontrer qu'étudier le nombre de points d'intersection de delta et P revient à résoudre l'équation :
(1) x² - ax + am - m² = 0. FAIT

c) Discuter suivant a, le nombre de solutions de (1).

d) Quelle est la droite delta qui coupe P en un seul point ?

C'est donc la question c) qui me pose problème. x² ne peut être égal à 0 que si x = 0, donc c'est vraisemblablement le trinôme qui nous indiquera le nombre de solutions de l'équation, mais je n'arrive pas à saisir la subtilité du "suivant a"...

Quant à la question d), il s'agit vraisemblablement de sa tangente, dont il faudra calculer l'équation grâce à la formule habituelle.

En tout cas, merci d'avance pour votre aide !

[rene38]

Bonjour

(1) x² - ax + am - m² = 0.

c) Discuter suivant a, le nombre de solutions de (1).

C'est donc la question c) qui me pose problème. x² ne peut être égal à 0 que si x = 0, donc c'est vraisemblablement le trinôme qui nous indiquera le nombre de solutions de l'équation, mais je n'arrive pas à saisir la subtilité du "suivant a"...

x² - ax + am - m² est bien un trinôme du second degré en x , indépendamment de la valeur de x
et x² - ax + am - m² = 0 une équation du second degré en x.
Son nombre de solutions (1 ou 2) est donné par la valeur du discriminant qui dépend de a
d'où le "suivant a".

[Yumeno]

Merci pour votre réponse.

Mais que répondre à la question exactement ? Il faut bien déterminer une caractéristique de a qui engendre une ou deux solutions, non ? Et c'est véritablement là que je coince... Parce que trouver le discriminant d'un trinôme avec des valeurs numériques, je suis au point, mais avec uniquement une expression littérale, je n'y arrive pas.

Merci d'avance.

[rene38]

Qu'as-tu trouvé comme discriminant ?

[anima]

Merci pour votre réponse.

Mais que répondre à la question exactement ? Il faut bien déterminer une caractéristique de a qui engendre une ou deux solutions, non ? Et c'est véritablement là que je coince... Parce que trouver le discriminant d'un trinôme avec des valeurs numériques, je suis au point, mais avec uniquement une expression littérale, je n'y arrive pas.

Merci d'avance.

C'est ce qu'on appelle en anglais un problème quadratique. Je t'explique:

On te demande de trouver quand x² - ax + am - m² = 0 a 2, une, ou aucune solution. Dès lors, tu te mets à calculer le discriminant delta:

Delta = 0 ssi ax^2 = 4m(a-m)
x^2 = 4m(a-m)/a
x = racine de tout ça ou -racine de tout ça

Une fois que tu as ces 2 solutions, tu sais donc suivant m et a quand l'équation admet une seule solution. Le signe du trinôme te dit que delta sera du signe de a...sauf entre les racines. Donc, delta positif si a positif: ]-inf;x1[u]x2;+inf[

J'espère avoir été assez clair :++:

[Yumeno]

Justement, je ne sais pas comment lancer mon calcul de b² - 4ac.

[Yumeno]

Je suis à peu près le raisonnement, mais je n'arrive pas à comprendre comment dans l'expression b² - 4ac, on arrive à obtenir votre résultat.
Pour b pas de problème, c'est le facteur des x, en l'occurrence a, mais a et c, je ne comprends pas...

Merci de m'éclairer !

[anima]

Je suis à peu près le raisonnement, mais je n'arrive pas à comprendre comment dans l'expression b² - 4ac, on arrive à obtenir votre résultat.
Pour b² pas de problème, c'est le facteur des x, en l'occurrence a, mais a et c, je ne comprends pas...

Merci de m'éclairer !

x² - ax + am - m² = 0
Deuxième espèce: x²
Première espèce: -ax
Degré zéro: +am-m²=m(a-m)

d= 1, e=-a f=m(a-m) (d e f rentrant dans delta, car a b c déja utilisés)

[Yumeno]

Merci, je comprends mieux, mais maintenant je trouve la suite moins évidente. Notre discriminant nous donne a² - 4m(a-m), pourquoi passer alors à ax² = 4m(a-m) pour que delta soit égal à 0...

Argh...

[anima]

Merci, je comprends mieux, mais maintenant je trouve la suite moins évidente. Notre discriminant nous donne a² - 4m(a-m), pourquoi passer alors à ax² = 4m(a-m) pour que delta soit égal à 0...

Argh...

Bah...si delta=0, alors a²-4m(a-m) = 0
tu passe -4m(a-m) de l'autre coté (jargon familier: tu sais comment faire pour vraiment faire passer qqchose de l'autre côté), ca devient a²=4m(a-m)
Ensuite, etc. etc. :p

[Yumeno]

Aaaaah, d'accord, mais c'est parce que j'avais lu ax² dans votre précédent message ! J'essaie de déblayer tout ça et je vous tiens au courant, merci !

[anima]

Aaaaah, d'accord, mais c'est parce que j'avais lu ax² dans votre précédent message ! J'essaie de déblayer tout ça et je vous tiens au courant, merci !

Ma faute. Vive les coquilles :hum:

[rene38]

On pourrait essayer de faire simple :

Equation :
Discriminant (en utilisant une identité remarquable) :

Le discriminant est un carré, il est donc positif et l'équation admet 1 ou 2 solutions.
- si alors le discriminant est nul : l'équation admet une solution double, est tangente en M à P.
- si alors le discriminant est strictement positif :l'équation admet 2 solutions distinctes, est sécante à P en 2 points (M et un autre)

[Yumeno]

Ouh là, oui, effectivement, les résultats obtenus sont beaucoup plus simples... et paraissent plus plausibles pour un exercice de 1ère S. Merci à vous rene38 ! Cela ne remet toutefois pas en cause l'aide d'anima, que je remercie une nouvelle fois, puisque ses conseils m'ont permis de bien avancer !

Bref, au risque de me répéter, merci à tous pour votre aide précieuse !

[Yumeno]

En relisant l'énoncé de l'exercice, je me suis rendu compte d'une petite erreur dans mon raisonnement...

Dans un repère, P est la parabole d'équation y = x². m est un réel et M est le point de P d'abscisse m.

a) a est un réel, écrire l'équation de la droite delta passant par M et de coefficient directeur a. FAIT

J'ai alors trouvé ax - am + m² en prenant delta comme une tangente, or il n'est jamais dit qu'il s'agit d'une tangente, la question tend plutôt à donner cette équation pour toutes les droites qui passent par M... même si elles passent sur un autre point de la courbe.

Avec la formule de la tangente ça passait bien, mais maintenant que je me rends compte qu'on ne peut pas l'utiliser, je ne sais pas comment faire autrement...

Merci d'avance pour votre aide.

[rene38]

Il n'y a aucun problème :

P est la parabole d'équation y = x²
M est le point de P d'abscisse m. Son ordonnée est donc m² : M(m ; m²)
La droite a pour coefficient directeur a ; elle a donc pour équation
y = ax + b
De plus elle passe par M(m ; m²) donc m² = am + b et b = m²-am
d'où une équation de : y = ax + m² - am
Il n'est question à aucun moment de tangente