99 page 103, 1S Bordas

[mrgx66]

Bonjour, pourriez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plaît

Position d'une courbe et d'une de ses tangentes
1. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞] par g(x) = 2√x -x-1
a) Etudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞]
b) Démontrer que, pour tout x de [0 ; +∞] : 2√x ≤ x+1
2. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞] par f(x) = √x et Cf sa courbe réprésentative
a) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 1
b) Etudier la position de la tangente par rapport à Cf


Je sais que pour le 1.a) je dois trouver la dérivée de g(x) pour connaître son sens de variation, est-ce que la dérivée est : (1 - √x) / √x

[titine]

Je sais que pour le 1.a) je dois trouver la dérivée de g(x) pour connaître son sens de variation, est-ce que la dérivée est : (1 - √x) / √x

Oui !
Étudie maintenant le signe de cette dérivée.

[mrgx66]

Pour étudier le signe de cette dérivée est-ce que je dois faire : (1 - √x) / √x ≥ 0 ?

[titine]

Pour étudier le signe de cette dérivée est-ce que je dois faire : (1 - √x) / √x ≥ 0 ?

Oui mais comme on sait que √x est positif, il suffit d'étudier pour quelles valeurs de x on a 1 - √x ≥ 0
C'est à dire 1 ≥ √x
Ceci est vrai lorsque x <= 1
Donc sur [0;1] g'(x) >= 0 et sur [1 ; +∞] g'(x) <= 0

[mrgx66]

Merci, j'ai fait un tableau afin de connaître le sens de variation et j'ai trouvé que sur [0;1] g(x) est croissante et que sur [1;+∞] g(x) est décroissante. j'ai donc répondu à la question 1.a)

b) On sait que g(x) ⩽ 0 et on a g(x) = 2√x -x -1
2√x -x -1 ⩽ 0
2√x ⩽ x +1
Mais est-ce que cela suffit pour démontrer que pour tout x de [0;+∞] on a 2√x ⩽ x +1 ?


2. a) Pour une tangente de Cf pour abscisse x=1
on a : f(1)=√1=1 et f'(1)= 1/ (2√1) = 0,5
y (équation de la tangente)= f'(1) (x-1) + f(1) = 0,5 x + 0,5

b) Je ne comprends vraiment pas ce que je dois faire, je suis perdue après plusieurs essais au brouillon, je ne parviens à pas à quelque chose de logique

[lynux]

Bonsoir,
On veut la position de la tangente par rapport à Cf, de plus tu connais l'équation de ces deux courbes.
Il suffit donc d'étudier le signe de la différence des deux équations.

[mrgx66]

Bonjour, la différence est alors la suivante : √x - (0,5 x + 0,5)
Et donc : √x - 0,5 x - 0,5
Mais je ne sais pas étudier le signe de ce genre d'équation ?

Si je mets l'équation au carré je trouve : x - 0,25 x² - 0,25 = - 0,25 x² + x - 0,25
Je calcule alors delta car c'est un polynôme du second degré ou bien un trinôme?
D= 1² - 4 * (- 0,25) * (-0,25) = 1 - 0,25 = 0,75 > 0
X1 = (-1 - √0,75 ) / -0,5 ~ 3,73
X2 = (-1 + √0,75) / -0,5 ~ 0,27
Mais que dois-je faire avec ces racines trouvées? Sont-elles juste?

[lynux]

Je ne comprends pas trop comment tu as élevé au carré, en faite, ici, tu dois poser une inégalité par exemple

Et ici, tu passes l'inégalité au carré (sans soucis de signes puisque le domaine de définition et d'arrivé de est )

Edit : J'ai compris comment tu as passé au carré mais c'est totalement faux, ce n'est surement pas comme ça qu'on développe une identité du type : . Passe plutôt au carré chacun des membre de l'inégalité que je t'ai donné et trouves-en les solutions.