Ouverts de R

[Anonyme]

Bonjour,

Soit O un ouvert de R contenant 0.
Soit x dans cet ouvert.
La question que je me pose (certainement bête, si c'est le cas, excusez-moi
!) est la suivante :
est ce que l'on peut dire que le segment [0 , x] est un fermé ??

[Anonyme]

"tgf" a écrit dans le message de
news:bovrjg$5or$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> Soit O un ouvert de R contenant 0.
> Soit x dans cet ouvert.
> La question que je me pose (certainement bête, si c'est le cas,
excusez-moi
> !) est la suivante :
> est ce que l'on peut dire que le segment [0 , x] est un fermé ??
>
Dans le cas général, oui, c'est un fermé.
Maintenant, si tu le considères par rapport à O, ce n'est pas le cas en
général...

[Anonyme]

tgf a écrit
> Soit O un ouvert de R contenant 0.
> Soit x dans cet ouvert.
> est ce que l'on peut dire que le segment [0 , x]
> est un fermé ??

Oui, dans tous les cas

On sait que [0 , x] est un fermé de R (pour la distance habituelle)
et c'est aussi un fermé de O : il suffit d'appliquer la définition,
le complémentaire C de [0 , x] dans O est bien u ouvert de O
car pour tout point y de C il existe une boule ouvert non nulle
de centre y incluse dans C.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pardon je me suis trompé, ce que j'ai n'est vrai que si O
est un intervalle.

Dans le cas général, il faut prendre le complémentaire
de [0, x] dans R, qui est Q = ]-oo, 0[ U ]x, +oo[,
puis faire Q inter O, c'est un ouvert de O
dont le complémentaire dans O est un fermé de O.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Thu, 13 Nov 2003 13:03:22 +0100
"tgf" écrivit:

> Bonjour,
>
> Soit O un ouvert de R contenant 0.
> Soit x dans cet ouvert.
> La question que je me pose (certainement bête, si c'est le cas,
> excusez-moi!) est la suivante :
> est ce que l'on peut dire que le segment [0 , x] est un fermé ??

Il faudrait poser la question de façon plus précise:

S'agit-il de savoir si [0,x] est un fermé dans la topologie de IR, ou
s'il est un fermé de la topologie induite par celle de IR dans O?

Dans le deuxième cas faudrait-il que [0,x] soit inclus dans O, ce qui
n'est pas assuré. Si O est un intervalle, il n'y a pas de doute,
mais les ouverts de IR sont loin d'être tous des intervalles !
JJR.

[Anonyme]

Jean-Jacques Rétorré a écrit :
> Il faudrait poser la question de façon plus précise:

Absolument.

> S'agit-il de savoir si [0,x] est un fermé dans la topologie de IR, ou
> s'il est un fermé de la topologie induite par celle de IR dans O?
>
> Dans le deuxième cas faudrait-il que [0,x] soit inclus dans O, ce qui
> n'est pas assuré. Si O est un intervalle, il n'y a pas de doute,
> mais les ouverts de IR sont loin d'être tous des intervalles !

Moins d'accord (je suppose que vous parliez du premier cas). Je détaille
(enfin j'essaye):

En supposant qu'on prend A = [0,x] inter O (pour être dans O) (A
remplace le [0,x] de la question)

Premier cas : topologie de R.
Si [0,x] est inclus à O, A est un fermé, car il est fermé (la bonne
blague)
Si [0,x] n'est pas entièrement dans O, ça veut dire qu'il y a un trou
quelque part dans A, induit par O. Et alors A n'est pas fermé: Prenons
la composante connexe de 0 dans A. C'est un intervalle du type [0,y) ou
[0,y]. Reste à savoir si y est dedans ou pas (si il n'y est pas, on n'a
pas un fermé). Et si il y était, on aurait donc y \in A (on a pris la
composante connexe dans A), or A est ouvert => il existe un petit
intervalle ouvert autour de y complètement dans A... mais pas de chance,
on aurait alors une composante connexe plus grande. Donc y n'y est pas.

Deuxième cas: topologie de O (induite par R)
Dans les deux cas, A = [0,x] inter O, càd la trace d'un fermé de R...
ben c'est un fermé car son complémentaire dans O est O\[0,x], càd O
inter (complémentaire de [0,x]), càd la trace d'un ouvert, un ouvert par
définition.

--
Nico. Veuillez voter:
Oui? Non? Pas du tout? Peut-être? C'est quand qu'on mange?

[Anonyme]

Le Thu, 13 Nov 2003 20:46:41 +0100
Nicolas Richard écrivit:

> Jean-Jacques Rétorré a écrit :[color=green]
> > Il faudrait poser la question de façon plus précise:
>
> Absolument.
>
> > S'agit-il de savoir si [0,x] est un fermé dans la topologie de IR,
> > ou s'il est un fermé de la topologie induite par celle de IR dans O?
> >
> > Dans le deuxième cas faudrait-il que [0,x] soit inclus dans O, ce
> > qui n'est pas assuré. Si O est un intervalle, il n'y a pas de doute,
> > mais les ouverts de IR sont loin d'être tous des intervalles !
>
> Moins d'accord (je suppose que vous parliez du premier cas). Je
> détaille(enfin j'essaye):
>
> En supposant qu'on prend A = [0,x] inter O (pour être dans O) (A
> remplace le [0,x] de la question)
>
> Premier cas : topologie de R.
> Si [0,x] est inclus à O, A est un fermé, car il est fermé (la bonne
> blague)
> Si [0,x] n'est pas entièrement dans O, ça veut dire qu'il y a un trou
> quelque part dans A, induit par O. Et alors A n'est pas fermé: [/color]
Il est fermé pour la topologie induite par celle de IR dans O,
mais son intersection avec O n'est pas forcément un fermé pour la
topologie de IR.
Par exemple l'intervalle [0;+\infty[ est un fermé de IR, ce n'est pas un
fermé dans le compactifié de IR. [-\infty,+\infty]
Peut-être que je me trompe, ce sont des souvenirs d'il y a
presque 40 ans...

JJR.

[Anonyme]

Jean-Jacques Rétorré a écrit :
> Il est fermé pour la topologie induite par celle de IR dans O,
> mais son intersection avec O n'est pas forcément un fermé pour la
> topologie de IR.

Je crois bien que c'est exactement ce que j'ai dit. Peut être que c'est
mon "induit par O" qui vous a perturbé? Je parlais seulement du trou,
c'est vrai que c'etait peu intelligent de ma part. Bref je disais juste
que le trou venait du fait qu'on intersectait avec O.

> Par exemple l'intervalle [0;+\infty[ est un fermé de IR, ce n'est pas un
> fermé dans le compactifié de IR. [-\infty,+\infty]
> Peut-être que je me trompe, ce sont des souvenirs d'il y a
> presque 40 ans...

Moi j'achète.

--
Nico.