Olympiades lyon 2003

[inconnu75]

Comment ça ?

[inconnu75]

Ah tu veux dire que je n'ai pas précisé H, K, L projetés orthogonaux de M sur [BC], [AB], [AC] ?

[benekire2]

Ah tu veux dire que je n'ai pas précisé H, K, L projetés orthogonaux de M sur [BC], [AB], [AC] ?

Ah désolé, je me basais sur la figure de tim

[inconnu75]

La voici la figure, c'est la même...

[inconnu75]

UP !

Personne alors ?

[mathelot]

pour ma part, j'ai la conscience tranquille :we:

j'ai écrit une démo rudimentaire qui marche dans ce cas particulier où
est droit

je ne suis pas convaincu que AMH soient alignés

l'étude du cas général est intéressante ( non droit)
M est le point de Lemoine
il faudrait écrire la démo qu'il est situé à l'intersection des 3 symédianes.

[benekire2]

Merci Zweig pour le point de Lemoine et les symédianes (je ne connaissais pas)



H,K,L les projetés de M sur [BC],[AB],[AC]

les aires sont proportionnelles
à

elles s'écrivent
avec où S est l'aire de ABC.

[MK] est une hauteur du triangle AMB d'aire de base [AB] de longueur c.



la droite (CM) coupe [AB] en I.
On applique le théorème de Thalès dans le triangle ACI.



par complémentarité


M est donc barycentre de et

Soit maintenant L barycentre de
d'après ce qui précède, M=L.

remarque: ce qui est (très) ennuyeux, c'est que la démo dépend
fortement de l'angle droit en A.

Ce qui reste le point de lemoine quand même ....

[Zweig]

Merci Zweig pour le point de Lemoine et les symédianes (je ne connaissais pas)

Au plaisir ! J'ai réfléchis pour le point de Lemoine dans le cas général. Le fait que les trois symédianes sont concourantes n'est qu'une conséquence directe du théorème de Céva (angulaire).

[Zweig]

Pour montrer cette propriété :

Avec x,y,z les distances de M à BC,AC et AB, en fait le problème revient à résoudre

(car l'aire AMB c'est cz et dire qu'elles sont proportionnelles c'est dire que cz/c²=by/b²=ax/a²)

J'ai pas lu le reste, mais arrivé à ce stade, on peut conclure : le seul point qui vérifie cette égalité est le point de Lemoine (intersection des symédianes) :zen:

Soit ABC un triangle avec AB = c, AC = b et BC = a. Soit une symédiane issue de A, coupant (BC) et A" et M un point de celle-ci. On note K' et H' les projetés orhogonaux de M, respectivement, sur (AB) et (AC). On considère une médiane issue de A coupant (BC) en A' et M' un point de celle-ci. Soient K et H les projetés orthogonaux de M' sur, respectivement, (AB) et (AC). Alors d'après le théorème de Thalès : et .

Par définition les angles géométriques (en vecteurs) (AB, AA") et (AC, AA') sont égaux, on le note . On a alors :



Comme les triangles ABA' et AA'C ont des bases égales et même hauteur issue de A, alors leurs aires sont égales ; on la note S. On a :



D'où,



Par suite,



Par permutation circulaire, on montre des résultats analogues pour des points appartenant aux deux autres symédianes. Comme le point de Lemoine est le point de concours de ces symédianes, alors ces trois points variables sont confondus, d'où :

avec x, y et z les distances du point de Lemoine au côtés du triangle, d'où l'égalité désirée après divisions.