Olympiades lyon 2003

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inconnu75
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olympiades lyon 2003

par inconnu75 » 01 Nov 2009, 01:16

onjour, j'ai un DM à faire pour la rentrée, et dans celui-ci il y a cet exercice que j'ai longtemps cherché mais je ne vois vraiment pas pas comment le faire...

Trois propriétaires P1, P2 et P3 disposent chacun d'une parcelle de terrain carrée, jouxtant un lac triangulaire ABC rectangle en A.
Ils décident de délimiter leurs "eaux territoriales" en plaçant une bouée M de telle sorte que les surfaces MAB, MBC et MCA soient proportionnelles aux aires des parcelles adjacentes.
Déterminer la position de cette bouée dans le lac.

A noter que cet exercice a été donné dans le cadre du chapitre sur les barycentres.

Merci d'avance :)



Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 01 Nov 2009, 11:17

Bonjour,

tiens il me rappelle quelque chose cet exo ... Il me semble l'avoir traité cet été.

As-tu fait un schéma ?
On a M un point placé à l'intérieur du triangle ABC, son projeté orthogonale sur le segment [BC] est H.
On est dans la même situation en ce qui concerne K et L les projetés orthogonaux de M sur [AB] et [AC].

A partir de là et d'un bon schéma tu peux poser les rapports de longueurs.

benekire2
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par benekire2 » 01 Nov 2009, 11:41

C'est un très bon exercice à faire, très formateur!!

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 01 Nov 2009, 11:42

Je plussoie !
Très sympa en Olympiades :)

benekire2
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par benekire2 » 01 Nov 2009, 12:19

Ouais là c'est les olympiades françaises mdr!!

inconnu75
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par inconnu75 » 01 Nov 2009, 13:44

Voici le shéma qui était donné avec l'énoncé.

Image

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 01 Nov 2009, 13:47

J'ai en gros le même sur mon cahier.
Mets les point H, K et L aussi !

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 01 Nov 2009, 14:05

Avec x,y,z les distances de M à BC,AC et AB, en fait le problème revient à résoudre

(car l'aire AMB c'est cz et dire qu'elles sont proportionnelles c'est dire que cz/c²=by/b²=ax/a²)

Après il doit y avoir des astuces. Pour l'instant j'ai trouvé
donc en fait x²=y²+z² = MA²

Et donc MH= MA mais ça ne donne pas encore le lieu précis de M, il manque quelque chose

inconnu75
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par inconnu75 » 01 Nov 2009, 15:00

Merci, ca m'a beaucoup aidé, mais on peut abréger plus tôt, non ? Une fois que tu as dit x²=MA² c'est terminé, on peut dire que M est le milieu de la hauteur issue de A !

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 01 Nov 2009, 15:03

non, à priori ça n'est pas parce que MA = MH que les points sont alignés ?

johnjohnjohn
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par johnjohnjohn » 01 Nov 2009, 15:12

Bon

Pour ma part, j'ai vu ça sous cette angle là :

L'étude se ramène à considérer que le triangle est formé de 3 barres affectés du poids de leur carré adjacent respectif.

posons

AB=a
AC=b
BC=c

Le poids de chaque barre est donc a²,b²,c² ( c²=a²+b² le triangle est rectangle )

On se positionne dans le repère (A,AB,AC) et on détermine les coordonnées du barycentre du triangle formé par ces trois barres affectées chacune de leur poids. ( Le barycentre de chaque barre est le milieu du segment en rapport )

Il y a peut-être quelque chose qui cloche dans mon raisonnement et je suis donc l'exercice de façon intéressée comme inconnu75 ( un peu moins car le lycée est derrière moi depuis plus de vingt ans :lol: )

benekire2
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par benekire2 » 01 Nov 2009, 16:58

Les barycentres peuvent en effet être utilisés ici pour résoudre le problème mais il me semble qu'ils ne sont pas nécessaires.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 01 Nov 2009, 17:00

Il me semble aussi, je ne les ai pas utilisés.

benekire2
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par benekire2 » 01 Nov 2009, 17:02

Il faudrait que je regarde comment j'avais fait ( je l'ai fais l'année dernière, sur le livre de seconde :) )

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 01 Nov 2009, 17:02

Je me suis contenté d'établir des rapports de longueurs il me semble !

inconnu75
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par inconnu75 » 01 Nov 2009, 17:06

Peut-être, mais à mon avis c'est le plus judicieux d'utiliser la méthode des barycentres car justement le DM dans lequel est l'exercice est dans le cadre de la synthèse du chapitre sur les barycentres.
Donc à mon avis c'est plus une méthode de ce genre que s'attend à voir mon prof.

benekire2
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par benekire2 » 01 Nov 2009, 17:08

Dans ce cas là oui, cela dit, tu n'est pas OBLIGE d'utiliser les barycentres parce que c'est un chapitre sur les barycentres, les maths c'est les maths, et tant que ça reste juste, où est le problème!!

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 01 Nov 2009, 17:08

Mais si tu lui présentes la méthode la plus simple il ne dira pas non ;)
Le but des maths (une science de faignant) est de se simplifier la vie, pas d'utiliser des outils compliqués alors qu'il existe plus simple.

EDIT : argh, grillé !

inconnu75
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par inconnu75 » 01 Nov 2009, 19:06

Bon alors en reprenant la methode d'Ericovitchi, on m'a dit que y/b=z/c équivaut à dire que le triangle rectangle ALM est semblable à ABC (lui-même semblable à ABH), ce qui équivaut à dire que M appartient à [AH].

A partir de là, la condition z/c=x/a équivaut à écrire que (AM X c/a)/c=x/a c'est à dire à affirmer que AM=HM
Donc M mil[AH]

Est-ce correct ? J'ai pas très bien compris pourquoi dire que y/b=z/c c'est dire que ALM et ABC sont semblables...


Désolé si c'est pas très lisible je ne sais pas comment faire les traits de fraction.

benekire2
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par benekire2 » 01 Nov 2009, 19:44

Timothé Lefebvre a écrit:Mais si tu lui présentes la méthode la plus simple il ne dira pas non ;)
Le but des maths (une science de faignant) est de se simplifier la vie, pas d'utiliser des outils compliqués alors qu'il existe plus simple.

EDIT : argh, grillé !


Voilà tout est dit, les maths c'est la recherche de la fainéantise ( oui ça s'apprend^^)

 

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