Numero Insee

[gungin]

bonjour a tous et merci d avance pour votre aide,alors voila j'ai un dm en spe maths sur le numero I.N.S.E.E,j'ai reussi a faire a peu pres la moitie des questions mais il y en a ou je bloque .
voici l 'enonce un peu raccourci:le numero INSEE est compose de 15 chiffres,les 2 derniers(de droite) forment une cle de controle noté C permettant de determiner certaines erreurs,soit N=a12,a11,......a1,a0 le nombre formé par les 13 premiers chiffres de a12,a11,...a1,a0 du numero INSEE et r le reste de la division euclidienne de N par 97 alors C=97-r,le 1er chiffre de N donne le sexe(1 pour les hommes et 2 pour les femmes)
1)montrer que N congrus a 16*a12a11a9a8+9*a7a6a5a4+a3a2a1a0(97) la je crois que il y a une erreur et que c'est 81 au lieu de 16
2)a)on modifie un seul chiffre de N,on veut verifier que l'erreur sera detecter,on associe N'et C' au nombre different d'un seul chiffre avec N,montrer que valeur absolue de N-N' =a*10^n ou a compris entre 1 et 9 et n entre 0 et 12,en deduire que 97 ne divise pas N-N'
3)b)on inverse 2 chiffres consecutifs de N on y associe alors N''et C'',montrer que valeur absolue de N-N''=b*10^n ou b est compris entre 9 et 81 et n appartenant a l ensemble des entiers naturels,en deduire que 97 ne divise pas N-N'',l'erreur est -elle forcement detectee?
4)c)saurez-vous trouver une erreur non detecteé par la clé(on utilisera comme exemple N=2 84 08 57 286 342 et N=1 54 04 54 208 091)
voila merci d'avance

[gungin]

a noter que j'ai dans la question numero 1 utiliser le fait que a12a11...a1a0=a12a11a10a9a8*10^6+10^4*a7a6a5a4+a3a2a1a0et que 10^6 est congru a 81 modulo 87 et non pas 16 donc c'est pour cela que je pense qu'il y a une erreur dans l'enoncé et que 10^4 est congru a 9 modulo 97
j 'ai aussi réussi a demontrer que 97 est un nombre premier
voila si cela peut servir
merci

[gungin]

je ne veux pas me montrer desageéable mais cela serait bien qu'on m'aide au moins un peu avec des pistes si vous n'avez pas le temps ou pas envie de tout résoudre.merci d'avance

[gungin]

Pour la question 2,est-ce que c'est juste si je dis que comme N et N' different d'un seul nombre donc donc N'=N+a*10^n ou N=N'-a*10^n
par exemple si l'on considere le 1er chiffre de gauche et qu'on tape un 2 au lieu d'un 1 alors il y aura un decala de 2*10^12-1*10^12=1*10^12
et que seuls les nombres premiers 5,2 et 2 ou 3 ou 5 ou 7selon la valeur de a interviennent donc 97 ne divisent pas N-N'(2 et 5 interviennent car 10^n=5^n*2^n)
par contre pour la question 3 je vois pas trop comment faire
pour la 4 je pense que si on ajoute un multiple de 97 l'erreur ne sera pas detecteé