Noyau et Image intuitivement

[Anonyme]

salut!
En spé math, notre prof qui enseigne en prepa, (et qui fait du hors-programme)ns demande de comprendre intuitivement le noyau d'1 application!?
j'essaie de m'imaginer ca ms j'y arrive pas!
Merci de votre aide

[fonfon]

Salut, il prend de l'avance ton prof

Le noyau de l'application linéaire f du K-espace vectoriel E dans le K-espace vectoriel F est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est le vecteur nul de F.
C'est un sous-espace vectoriel de E, noté Ker(f).


Ex:

f:ZxZ->Z
(x,y)->ax+by

Ker(f)={(x,y)/ax+by=0}

Soit (x,y) ds ker(f)
<=>f((x,y))=0
<=>ax+by=0
<=>ax=-by je pense que tu as vu les equations diophantiennes donc
<=>(x,y)={(-bl,al) , l ds Z)

donc Ker(f)=(-bZ,aZ)

A+

[El_Gato]

Salut, il prend de l'avance ton prof

Le noyau de l'application linéaire f du K-espace vectoriel E dans le K-espace vectoriel F est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est le vecteur nul de F.
C'est un sous-espace vectoriel de E, noté Ker(f).


Ex:

f:ZxZ->Z
(x,y)->ax+by

Ker(f)={(x,y)/ax+by=0}

Soit (x,y) ds ker(f)
f((x,y))=0
ax+by=0
ax=-by je pense que tu as vu les equations diophantiennes donc
(x,y)={(-bl,al) , l ds Z)

donc Ker(f)=(-bZ,aZ)

A+

Attention fonfon, Z n'est pas un corps, donc ZxZ est un Z-module et non pas un ev. Cela dit les définitions de noyau et d'image s'appliquent également au cas des modules, mais là tu es vraiment hors-programme !

Plus simplement, le noyau d'une application linéaire f: E-->E est simplement l'ensemble des vecteurs v tels que f(v) = 0. C'est un sous-espace vectoriel, et son étude est très importante car il caractérise assez finement f. L'image de f c'est l'image d'une application au sens classique. Dans les cas des AL, c'est un espace vectoriel. L'image de f est isomorphe au quotient E/Ker(f), d'où , en dimension finie, la relation:

dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E).

[fonfon]

Salut ElGato tu as raison dans ma tête j'ai confondu avec l'anneau commutatif (Z,+,*) et pour moi je suis partit la-dessus

[abcd22]

Intuitivement... le noyau « mesure » le défaut d'injectivité de la fonction, s'il est nul, la fonction est injective, plus il est gros, « moins » elle est injective. Plus précisément, si on prend n'importe quel point de l'image d'une application linéaire f, l'ensemble des antécédents de ce point a la même dimension que le noyau.