Notion de tangente

[Anonyme]

D'abord une petite précision :
Il est parfaitement possible qu'une tangente coupe la courbe 36 fois (connais tu la courbe de la fonction sinus ?).

En effet je suis parfaitement d'accord

1) La tangente est la droite passant par M qui "reste du mème coté" de la courbe autour du point M (cette définition a des inconvénients....)

les inconveniants : le cas ou il y a des points d'inflexion non ?

Il faut faire attention avec le mot "solution double" : dans ton exemple (y=x^2 et la tangente en 0), il n'y a bien qu'UN SEUL point d'intersection et pas 2 et l'équation x^2=0 n'a bien qu'UNE SEULE solution. Par contre, comme x^2=(x-0)(x-0) on dit que la solution est "double" cela ne veut pas dire du tout qu'il y a deux solutions.

Une solution mais deux racines non ?

Autres chose :
Supposons par exemple qu'on cherche l'equation d'une droite passant par un point donnee tangente a une courbe representative d'une fonction de degres 2.

Premierement on doit trouver une equation d'une driote passant par le point donne , puis on egalise avec l'equation de la courbe. On trouve alors un trinome du second degres en x. Alors ma question est la suivante est-il plus rigoureux de dire que le discriminent de ce trinome tend vers 0 ou egale a 0 ?

Mais, (j'insiste) si on ne la bouge pas elle ne coupe qu'UNE fois.

C'est la ou je trouve une ambiguite ...

[Ben314]

Je suis tout à fait d'accord avec tes remarques (point d'inflexion....)
encore que pour les "racines" je pense qu'il vaut mieux dire qu'il y a une racine double plutôt que de dire qu'il y en a deux (souvent pour préciser que la même racine "compte deux fois" on écrit que l'on compte les racine "avec leur ordre de multiplicité")

Pour ce qui est des tangentes à une parabole, il faut écrire que le déterminant est égal à 0.

Je pense que le problème est de ne pas mélanger :
1) Ce qui se rattache à la définition des tangentes (et donc des dérivées) avec la notion de limite (c'est avec cette vision/définition que l'on démontre aseez simplement les propriétés des dérivées)
2) Tout les essais possible pour définir la tangente SANS EMPLOYER de limites (solution doubles de l'équation ou le fait de rester du même coté)

Comprendre le premier point de vue consiste à visualiser les droites "proches" de la tangente (c'est la notion de limite). avec le second, il n'y as pas de "proche de"...

Pour "lever tes doutes", il me semble indéniable que l'équation x^2=0 n'a... qu'une solution !

Dans TA méthode pour trouver la tangente à une parabole, tu utilise le second point de vue : tu ne veut pas calculer de limites donc pas de "à peut prés égal", ni de discriminant qui "tend vers 0".
Si tu voulait employer le premier point de vue, tu calculerait l'équation d'une droite passant par M et un autre point N (cette droite coupe évidement 2 fois la parabole !!!!) puis tu regarderait ce qui se passe lorsque le point N se raproche de M.

[Anonyme]

J'ai parfaitement compris ton point de vue. Mais je ne trouve pas de contradictions qui empeche de combiner les deux methode. Je m'explique:

Lorsqu'on fait tendre delta vers 0:
x1 et x2 se rapprochent tellement tout en etant distinct donc de ce fait la droite qui les joint est une tangente a la courbes.

Alors que si l'on considere delta=0:
On obtient une racine double donc x1 = x2 et les points sont confondu donc la courbe passe par un point et cela ne rejoint pas la definition de la tangente car si la definition de la tangente etait : c'est une droite qui coupe la courbe en un point on aurai que la droite x=1 serait tangente a la courbe en A(1,1) ce qui est totalement illogique .

C'est pour cette raison que je pensait que tendre delta vers 0 est plus adéquat. C'est vrai qu'au niveau des calculs on obtiens les meme reponses et c'est pas mon but de trouver les bonnes reponses mais de bien comprendre les concepts derrieres les calculs.

C'est toujours un peu flou (surtout la relation entre racine double et tangente que je trouve un peu contradictoire vu que la racine double c'est un point) et ce qui m'embete c'est que je trouve aucun bon article sur le web qui entre dans ces details...

[Ben314]

Tu as parfaitement raison quand au fait que dire "coupe en un seul point" est évidement insufisant pour caractériser la tangente.
Par rapport à ton exemple, je rajouterais que lorsqu'on cherche l'intersection de la parabole avec la droite x=1, on tombe sur l'équation y=1 dont 1 est la seule solution, mais ce n'est pas une solution double

A mon avis, c'est bien parce que ce n'est pas toujours super-super clair la notion de "solution doubles" (ou de "racines doubles" ou de "point double") que l'on privilégie la plupart du temps la définition des tangentes qui utilise la notion de limite...

Si ca t'interesse, historiquement parlant, les gens ont manipulés des tangentes au début sans avoir de définition bien claire de ce que c'était, puis il sont tombés sur des problèmes et ont fini par choisir la définition avec des limites : c'est la plus compliquée des définitions possibles, mais c'est la seule qui ne conduise pas à des problèmes dans certains cas un peu bizare.

Je ne sais pas comment ton prof. vous a présenté cela, mais je pense qu'il a fait une "introduction" pour expliquer "l'idée de tangente".
A mon avis, par la suite, il a du rapidement définir la dérivée comme la limite.... car, pour faire des preuve (dérivée d'une sommee....) il n'y a que cette définition qui donne des preuves "simples"...

[Anonyme]

C'est vrai il faudrait d'abord preciser ce que c'est une solution double ce que ca represente et ces proprietes geometriques c'est pas tres clair c'est vrai ...

En fait mon prof n'introduisait rien c'etait juste une question que lui avait pose.
Je lui avait demnade si la tangente coupait la courbe en 2 point ou en un point.

Bon vu qu'au lycee on nous "cache" beaucoup de choses je voulait savoir comment on definissait la tangente en sup .

[Ben314]

Aprés le lycée, on as moins le temps d'expliquer le coté "visuel" ou "historique" des choses, donc on définit la dérivée comme la limite de....
(je ne dirais pas qu'on vous "cache" des choses, des fois, on simplifie un peu...., peut être même un peu trop....)

Pour les "solution double", as tu vu que, si 5 est racine d'un polynôme, cela veut dire que l'on peut mettre (x-5) en facteur ?
Si oui, alors c'est simple, on dit que 5 est racine double lorsque l'on peut mettre (x-5)² en facteur...
Pour le coté géométrique, la notion de racine double se traduit géométriquement par... la notion de tangentes.
Tu peut essayer de fabriquer deux polynômes P et Q (par exemple du second degrés) tels que P(x)=Q(x) ait une racine double. Trace les courbes correspondantes => elles sont tangentes....

[Anonyme]

Aprés le lycée, on as moins le temps d'expliquer le coté "visuel" ou "historique" des choses, donc on définit la dérivée comme la limite de....
(je ne dirais pas qu'on vous "cache" des choses, des fois, on simplifie un peu...., peut être même un peu trop....)

Pour les "solution double", as tu vu que, si 5 est racine d'un polynôme, cela veut dire que l'on peut mettre (x-5) en facteur ?
Si oui, alors c'est simple, on dit que 5 est racine double lorsque l'on peut mettre (x-5)² en facteur...
Pour le coté géométrique, la notion de racine double se traduit géométriquement par... la notion de tangentes.
Tu peut essayer de fabriquer deux polynômes P et Q (par exemple du second degrés) tels que P(x)=Q(x) ait une racine double. Trace les courbes correspondantes => elles sont tangentes....

Oui j'ai vu ces notions et je comprend ce que tu m'explique.
Mais cependant je me demande si

P(x)=Q(x) ait une racine double. Trace les courbes correspondantes => elles sont tangentes.

n'est pas une consequence du fait que quand le discriminant tend vers 0 (et donc les racines tendent vers une racine double) on a une tangente a la courbe.
Je pense ainsi car il est plus facile de visualiser deux point tres proches et de comprendre que la droite qui les joint est une tangente que d'imaginer une racine double et de la lier avec la notion de tangente.

Es tu du meme avis ?

[Ben314]

Pour ce qui est du coté "comment on voit les chose",
non, ce n'est pas tout à fait comme cela que je les vois, et c'est tant mieux, chacun à ces petites images en tête pour "voir" les chose et on n'est pas obligé d'avoir les mêmes.
Si tu veut le "pourquoi" ce n'est pas tout à fait comme cela, c'est simplement que j'ai plus de "bouteille" et que avec des outils que tu n'a pas, je vois aussi assez bien comment cela ce passe pour des polynômes de degrés plus grand que 2.
Conclusion : si c'est comme cela que tu "voit" les choses, n'y change rien pour le moment... attend d'avoir des outils plus puissant pour "voir" autre chose.

Je pense par contre que l'idée visuelle que une racine double, sur un dessin, c'est deux points tellement proches qu'en fait il n'y en a qu'un est tout à fait valable....

Fait (évidement) simplement attention à ce que tout cela ne sont que des "images" que l'on se fait des choses et que l'on ne batie pas de "vrai preuves" avec ça.

[Anonyme]

Merci pour tout Ben ton aide m'a ete tres precieuse.
Je suis impatient d'etudier ces outils dont tu parles en esperent qu'il m'aideront a mieux comprendre le pourquoi des choses.
Dans les maths des qu'on rentre dans les detail et dans le pourquoi des chose c'est tres passionnant et interessant.
Merci

[Ben314]

Si tu veut t'amuser, cherche deux polynômes P et Q de degrés 3 tels que P(x)=Q(x) ait une racine double (c'est facile tu part du résultat que tu voudrait obtenir) puis trace les... miracle !

P.S. tu peut (évidement) en prendre un de degrés 2 et l'autre de degrés 3 (ou 4....) de tout facon, ca marche toujours.

[Anonyme]

Si tu veut t'amuser, cherche deux polynômes P et Q de degrés 3 tels que P(x)=Q(x) ait une racine double (c'est facile tu part du résultat que tu voudrait obtenir) puis trace les... miracle !

P.S. tu peut (évidement) en prendre un de degrés 2 et l'autre de degrés 3 (ou 4....) de tout facon, ca marche toujours.

racine double ==> leur difference est un second degres ayant un discriminant nul ?

je pense qu'on obtiendrait le meme resultat tant qu'on peut mettre la diffrence sous la forme non ?

Edit: Au fait tu est un prof de maths ? Sinon tu as quel niveau?

[Ben314]

Pour que l'équation P(x)=Q(x) ait une racine double, cela signifie que dans P(x)-Q(x), on peut mettre un (x-a)² en facteur. (les discriminants ne "marchent" que pour le secon degrés.
Par exemple on peut essayer de fabriquer P et Q tels que
P(x)-Q(x)=(x-1)²(x²-x+3)
c'est à dire (calculs) P(x)-Q(x)=x^4-3x^3+6x²-7x+3 (si je me suis pas trompé : je suis nul en calcul)
Donc par exemple, on peut prendre
P(x)=x^4+6x^2-3x+5
Q(x)=3x^3+4x+2
il y a évidement des tas de choix possibles...

Edit : je suis prof de math. à l'université...

[benekire2]

Prof à l'université ... Je respecte ( C'est mon rêve :we: ( inatteignable :triste: ))

Alors pour Qmath,
je pense que ton problème peut venir du fait que les limites au lycée ne sont pas définies très rigoureusement ... Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_%28math%C3%A9matiques_%C3%A9l%C3%A9mentaires%29

Par contre je te rejoins sur le point ou c'est pas facile d'y voir clair au début ... Après pour le cas de f(x)=x² on peut effectivement voir ca avec les racines doubles,

[Lostounet]

L'idée des "solutions doubles" c'est que par exemple l'équation
(x-2)(x-2)=0 n'a qu'une solution mais, si le la change "à peine" en mettant à la place (x-2)(x-1.99999)=0, elle se met à avoir 2 solution.

Dans ton exemple, cela signifie que, si on bouge "à peine" la tangente, elle se met à couper 2 fois.
Mais, (j'insiste) si on ne la bouge pas elle ne coupe qu'UNE fois.

J'insère ici une petite parenthèse:

1.9999999999 = 2 en fait, puisqu'on ne peut insérer aucun nombre x tel que
1.9999... < x < 2
Donc (x - 1.999....) = x - 2
C'est donc le même point !?

[Ben314]

pour Benekire :
1) Prof à la fac, c'est pas forcément "hors de portée". Je connais beaucoup de personnes qui ont commencées à être "brillantes" et surtout à s'intéresser à leurs études aprés le bac (l'ambiance scolaire ne leurs allait pas) de plus de multiples voies sont possibles : aprés beaucoup de bac+5 on peut essayer de faire une thése....
2) En ce qui me concerne, je préfèrerais qu'on ne crie pas sur les toit que je suis prof., cela nuierait grandement à l'honètetée avec laquelle les gens qui posent des question me répondent (y compris la façon doit TOI tu me répondra : ne change rien)

[Lostounet]

(Mais j'assume qu'il s'agit ici d'un 0.9999 qui se termine?)

[Ben314]

Oui, dans mon esprit, je parlait de 1.99999 (qui se termine) et pas de 1.9999999..... (infini)
Une petite remarque, il y a une autre façon de voir que ce nombre (avec des pointillés) est exactement égal à 2 :
écrit x=1.999999.....
puis écrit 10x=??????
puis calcule 10x-x...

[Lostounet]

Oui je connais :)
10x = 9.999999
9x = 9
x = 1
Mais x = 0.9999999
Donc 1 = 0.99999999
1 + 1 = 2, Alors 0.9999999 + 1 = 2
1.9999... = 2

Il y a aussi une autre méthode:
1/9= 0.1111..
2/9 = 0.222...
4/9 = 0.4444
....
9/9 = 0.9999.. (par le raisonnement)
et = 1 (par simplification)

Mais bon, ma question étant résolue, je ferme la parenthèse :)
Merci

[benekire2]

Oui on peut aussi voir cela avec des limites de suite, il existe sans doute beaucoup de moyens ...

@Ben : Ne t'en fais pas , je ne vois pas pourquoi je changerais de manière ... Je ne vais pas non plus le crier :we: ( je vais même faire comme si je le savais pas c'est tout)
Euh, est-ce que tu pourrai m'expliquer ta phrase "après beaucoup de bac+5 on peut essayer de faire une thèse...." ? Tu veut dire après avoir fait quelques bac +5 ou beaucoup de bac+5 stoppent leurs études ? ( Personellement je suis à l'aise au lycée, mais je sais que c'est très probable que ce n'en soit pas de même dans le supérieur ... [Pessimist inside] )

[Ben314]

La phrase "après beaucoup de bac+5 on peut essayer de faire une thèse" voulait dire qu'il y a pas mal de gens qui aprés leur diplôme bac +5 (ingénieur....) ont l'impression que, finalement, le métier vers lequel ça débouche ne les tente plus tant que ça et aimeraient faire une thèse pour faire de la recherche ensuite : et que cela se fait en général assez bien.

En france, c'est relativement fréquent, en particulier du fait que la filière considérée comme "d'élite" juste aprés le bac c'est les prépa. et que les concours de prépa. sont en immense partie des concours d'ingénieur.
Cela fait qu'en france (contrairement à beaucoup d'autres pays) les meilleurs étudiants en sciences vont souvent vers des diplomes d'ingénieurs et (heureusement) certain d'entre eux se rendent compte ensuite que la recherche les aurait beaucoup intéréssé donc finissent par faire une thése.

Tout cela pour dire que les gens qui ont une thése en math. on suivi des parcours post-bac assez différents.