Le T.V.I et la notion de la limite

[besttrainer]

bonjour
voila un petit exercice qui m'a causé beaucoup de problème :mur:
Enoncé: Soit f une fonction numérique définie et continue sur R+
tel que : f(0)=1 et lim f(x) quand x tend vers +oo égal 0
1- montrer q'il existe un c de ]0;+oo[ tel que f(c)=c
2-montrer que pour n'importe b de ]0;1[ il existe un c de ]0;+oo[ tel que f(c)=b
je sais que ces deux simples questions doivent être traiter par le T.V.I
mais il y'a deux manières pour le faire
-soit en facilitant les choses et en se basant sur la surjectivité de f
et d’après la limites on trouve que pour chaque y de ]0;+oo[ il existe au moins un x de R+ tel que f(x)=y
et comme ça on obtient les résultats.
-soit en compliquant les choses et en se basant sur la notion du limite pour démontrer q'il existe une valeur négative de f et c'est ça mon problème
est ce que quelqu'un peut m'aider ??

[chombier]

bonjour
voila un petit exercice qui m'a causé beaucoup de problème :mur:
Enoncé: Soit f une fonction numérique définie et continue sur R+
tel que : f(0)=1 et lim f(x) quand x tend vers +oo égal 0
1- montrer q'il existe un c de ]0;+oo[ tel que f(c)=c
2-montrer que pour n'importe b de ]0;1[ il existe un c de ]0;+oo[ tel que f(c)=b
je sais que ces deux simples questions doivent être traiter par le T.V.I
mais il y'a deux manières pour le faire
-soit en facilitant les choses et en se basant sur la surjectivité de f
et d’après la limites on trouve que pour chaque y de ]0;+oo[ il existe au moins un x de R+ tel que f(x)=y
et comme ça on obtient les résultats.
-soit en compliquant les choses et en se basant sur la notion du limite pour démontrer q'il existe une valeur négative de f et c'est ça mon problème
est ce que quelqu'un peut m'aider ??

Surjective ? Rien ne te permet d'affirmer cela ! Ce que tu as mis en gras est faux.
C'est une fausse piste, de toutes façons. Ne repars pas non sur la définition de limite, tu vas t'arracher les cheveux !

C'est le TVI et seulement le TVI.

En général le TVI te permet d'affirmer l'existence d'une solution à l'équation "f(x)=k".

Pour prouver que f(x)=g(x), généralement on s'intéresse à la fonction h(x)=f(x)-g(x) et on essaie de prouver qu'elle s'annule.

Est-ce que cela t'aide ?

[SaintAmand]

voila un petit exercice qui m'a causé beaucoup de problème :mur:
Enoncé: Soit f une fonction numérique définie et continue sur R+
tel que : f(0)=1 et lim f(x) quand x tend vers +oo égal 0
1- montrer q'il existe un c de ]0;+oo[ tel que f(c)=c

Dire qu'il existe un c tel que f(c)=c signifie que la courbe représentative de la fonction f coupe la première bissectrice (droite d'équation y=x). As-tu essayé de tracer le graphe d'une fonction f vérifiant les conditions de l'énoncé et dont le graphe ne coupe pas la première bissectrice ? Fais-le.
Cela t'aidera à comprendre.

Pour la démonstration, considère la fonction g définie sur R+ par g(x) = f(x) - x.

je sais que ces deux simples questions doivent être traiter par le T.V.I
mais il y'a deux manières pour le faire
-soit en facilitant les choses et en se basant sur la surjectivité de f

Vu que l'ensemble d'arrivée de la fonction f n'est pas explicité, on peut supposer qu'il s'agit de R et dans ce cas la fonction qui vérifie les conditions de l'énoncé ne peut pas être surjective.

et d’après la limites on trouve que pour chaque y de ]0;+oo[ il existe au moins un x de R+ tel que f(x)=y

Là tu supposes que l'ensemble d'arrivée est ]0;+oo[. Pourquoi ?

-soit en compliquant les choses et en se basant sur la notion du limite pour démontrer q'il existe une valeur négative de f et c'est ça mon problème

f ne prend pas nécessairement des valeurs négatives.

[besttrainer]

Surjective ? Rien ne te permet d'affirmer cela ! Ce que tu as mis en gras est faux.
C'est une fausse piste, de toutes façons. Ne repars pas non sur la définition de limite, tu vas t'arracher les cheveux !

C'est le TVI et seulement le TVI.

En général le TVI te permet d'affirmer l'existence d'une solution à l'équation "f(x)=k".

Pour prouver que f(x)=g(x), généralement on s'intéresse à la fonction h(x)=f(x)-g(x) et on essaie de prouver qu'elle s'annule.

Est-ce que cela t'aide ?

Merci pour votre commentaire !
d'abord je vous informe que l'idee du T.V.I a été inspiré de la surjectivité d'une fonction continue
mais elle reste une méthode qui cache beaucoup de détailles mais en tous cas elle est acceptable
ensuite je sais que je doit considerer une fonction g(x)=f(x)-x cependant le probleme c'est que je n'arrive pas a demontrer l'existence d'une valeur nefative de la fonction en utilisant la notion de la limite :lol3:

[chombier]

Merci pour votre commentaire !
d'abord je vous informe que l'idee du T.V.I a été inspiré de la surjectivité d'une fonction continue
mais elle reste une méthode qui cache beaucoup de détailles mais en tous cas elle est acceptable
ensuite je sais que je doit considerer une fonction g(x)=f(x)-x cependant le probleme c'est que je n'arrive pas a demontrer l'existence d'une valeur nefative de la fonction en utilisant la notion de la limite :lol3:

Que sais-tu sur g(x). Est-elle continue ? Que vaux g(0) ? Que vaux la limite de g en +infini ?

Tu ne peux pas prouver qu'il existe un x0 tel que f(x0) < 0. Pense à f(x)=exp(-x)

[besttrainer]

Dire qu'il existe un c tel que f(c)=c signifie que la courbe représentative de la fonction f coupe la première bissectrice (droite d'équation y=x). As-tu essayé de tracer le graphe d'une fonction f vérifiant les conditions de l'énoncé et dont le graphe ne coupe pas la première bissectrice ? Fais-le.
Cela t'aidera à comprendre.

Pour la démonstration, considère la fonction g définie sur R+ par g(x) = f(x) - x.



Vu que l'ensemble d'arrivée de la fonction f n'est pas explicité, on peut supposer qu'il s'agit de R et dans ce cas la fonction qui vérifie les conditions de l'énoncé ne peut pas être surjective.



Là tu supposes que l'ensemble d'arrivée est ]0;+oo[. Pourquoi ?



f ne prend pas nécessairement des valeurs négatives.

ok !! Si vous avez remarqué j'ai dit que f est definie et continue sur R+=[0;+oo[
donc tant que f est continue alors f(R+)=f([0;+oo[)=J
et pour preciser J on doit avoir f(0) et lim f(x) quand x tend vers +oo
et d'apres l'exercice on a f(0)=1 et lim f(x) quand x tend vers +oo égal 0
donc f([0;+oo[)=]0,1] et je pense que cela prouve la surjectivité de f de [0;+oo[ vers ]0,1]
et en considerant la fonction g(x) =f(x)-x et en suivant les meme etapes on peut prouve sa surjectivité de [0;+oo[ vers ]-00;1] :we:

[chombier]

ok !! Si vous avez remarqué j'ai dit que f est definie et continue sur R+=[0;+oo[
donc tant que f est continue alors f(R+)=f([0;+oo[)=J
et pour preciser J on doit avoir f(0) et lim f(x) quand x tend vers +oo
et d'apres l'exercice on a f(0)=1 et lim f(x) quand x tend vers +oo égal 0
donc f([0;+oo[)=]0,1] et je pense que cela prouve la surjectivité de f de [0;+oo[ vers ]0,1]
et en considerant la fonction g(x) =f(x)-x et en suivant les meme etapes on peut prouve sa surjectivité de [0;+oo[ vers ]-00;1] :we:

Non, au mieux f([0;+oo[) est inclus dans [0,1[, c'est d'ailleurs ce que dit le TVI.
La phrase en gras serait vraie (aux crochets près, qui sont dans le mauvais sens) si f était monotone (et donc, dans notre cas, décroissante) (c'est alors ce qu'on appelle souvent le corollaire du TVI qu'on utiliserait)

Et dans ce cas en effet la fonction serait surjective R+ dans ]0; 1], puisqu'elle serait même bijective de R+ dans ]0; 1] (Tous les éléments de ]0; 1] aurait un antécédent exactement)

Mais ce n'est pas le cas a priori, car la fonction n'est pas monotone.

[besttrainer]

soit une fonction réelle continue définie sur un intervalle I.
alors
i) f(I) est un intervalle
ii) f est une surjection de I sur f(I).
voila ce qu'on a dans le cours :we:
mais ce n'est pas le probleme si f est surjective ou non est ce qu'on peut utiliser la notion de la limite ou non ?? :mur:

[chombier]

soit une fonction réelle continue définie sur un intervalle I.
alors
i) f(I) est un intervalle
ii) f est une surjection de I sur f(I).
voila ce qu'on a dans le cours :we:
mais ce n'est pas le probleme si f est surjective ou non est ce qu'on peut utiliser la notion de la limite ou non ?? :mur:

Prouve que la fonction g(x)=f(x)-x admet une racine strictement positive en utilisant le TVI sur l'intervalle [0; +infini[

[chombier]

soit une fonction réelle continue définie sur un intervalle I.
alors
i) f(I) est un intervalle
ii) f est une surjection de I sur f(I).
voila ce qu'on a dans le cours :we:
mais ce n'est pas le probleme si f est surjective ou non est ce qu'on peut utiliser la notion de la limite ou non ?? :mur:

Ceci dit, ton ii) m'interroge.

Une fonction f définie sur un ensemble I est toujours surjective de I sur f(I), par définition, qu'elle soit continue ou non.

Ce que dit le TVI, c'est que si f est continue sur I=[a ; b], alors f est surjective de I sur [f(a) ; f(b)].

Ça me paraissait important de le préciser, même si on n'est pas vraiment dans le sujet !

[besttrainer]

:++:

Ceci dit, ton ii) m'interroge.

Une fonction f définie sur un ensemble I est toujours surjective de I sur f(I), par définition, qu'elle soit continue ou non.

Ce que dit le TVI, c'est que si f est continue sur I=[a ; b], alors f est surjective de I sur [f(a) ; f(b)].

Ça me paraissait important de le préciser, même si on n'est pas vraiment dans le sujet !

:++:

[SaintAmand]

Ce que dit le TVI, c'est que si f est continue sur I=[a ; b], alors f est surjective de I sur [f(a) ; f(b)].

Ah non ! n'est pas surjective.

[chombier]

Ah non ! n'est pas surjective.

Je crois bien que si, chaque élément de l'ensemble d'arrivée (en l’occurrence, il n'y en a qu'un : c'est le réel 1) a au moins un antécédent (en l’occurrence, il a deux antécédents : les réels 0 et 2).

Il s'agit donc bien d'une fonction surjective.

Ce qui peut surprendre, c'est que, par exemple, n'a plus d'image.
Le domaine de définition de cette fonction est en effet

[SaintAmand]

Je crois bien que si, chaque élément de l'ensemble d'arrivée (en l’occurrence, il n'y en a qu'un : c'est le réel 1) a au moins un antécédent (en l’occurrence, il a deux antécédents : les réels 0 et 2).

Il s'agit donc bien d'une fonction surjective.

Encore faudrait-il que cela soit une fonction.

Ce qui peut surprendre, c'est que, par exemple, n'a plus d'image.

ben voilà.

[chombier]

Encore faudrait-il que cela soit une fonction.
ben voilà.

Pourtant c'est une fonction. (Je n'ai pas envie de me justifier, je te renvoie à la définition. J'en ai trouvé une ici : http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/lc/node3.html)

[chombier]

Encore faudrait-il que cela soit une fonction.



ben voilà.

Tu confonds ensemble de départ et domaine de définition.

Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_d%C3%A9finition.