Notion dans l'ensemble N

[overlord321321321213]

Soit x,y appartient à N
2^x+1=y^2
Trouvez x et y

[WillyCagnes]

bsr

x=3 et y=3

[overlord321321321213]

Pouviez vous me dire comment

[chan79]

Montre que c'est impossible si est pair

Ensuite, on pose




Montre que est nécessairement égal à 1

[Ben314]

Salut,
Perso, partant de 2^x=(y-1)(y+1), j'aurais directement dit que y-1 et y+1 doivent être des puissances de deux.
Et deux puissance de 2 qui différent que de 2, y'a pas bien le choix...

[alexis6]

y-1=2^a
y+1=2^b
Donc 2^b-2^a=2
Or pour x>2, 2^x>4 et 2^(x+1)>8 donc 2^(x+1)-2^x>4

Si a=b alors 2^b-2^a=0 ce qui est exclus.
Donc a=1 et b=2.
Au final 2^x=8 donc x=3, puis y=3

Ou bien

2^x=4*z(z+1)
exp(xln(2))=exp(ln(4)+ln(z(z+1))
Donc x=2+ln(z(z+1))/ln(2)

Or x est entier naturel donc ln(z(z+1))=ln(2^k) avec k dans N
Puis z(z+1)=2^k
Donc z=2^a et z+1=2^b
Si z pair alors z+1 impair donc b=0 donc z+1=1 mais alors z=0, different de 2^a
Si z impair, a=0 donc z=1 et c'est la seule solution.
On en déduit x=3 et y=3