Notion de calcul différentiel

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upium666
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Notion de calcul différentiel

par upium666 » 20 Mar 2013, 20:50

Bonjour à tous et à toutes

Qui pourrait m'introduire intuitivement la notion de calcul différentiel et pourquoi les mathématiciens/physiciens y ont eu recours et quels en sont les utilités en Science ?

Merci : Elève de première S



Frednight
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par Frednight » 20 Mar 2013, 21:21

bonsoir

le premier exemple qui me vient à l'esprit est l'utilité déterminante du calcul différentiel dans ce qui s'appelle le calcul intégral.

Le calcul différentiel fait intervenir des quantités infinitésimales, c'est-à-dire aussi petites que l'on veut. Par exemple, dans le cadre de l'étude d'une fonction de , on notera la variation de l'ordonnée en fontion d'une tout petite variation .
Dans un certain cas concret spécifique, on peut admettre que . Le calcul infinitésimal respectant les règles de bases du calcul algébrique, on peut en outre faire passer à gauche, nous donnant alors , la dérivée de la fonction . Par ailleurs, le calcul intégral permet de retrouver l'équation de notre fonction à partir de cette équation différentielle : en faisant l'hypothèse que pour y=0 on a alors x=0.

ca n'est qu'un exemple mais ça donne un très léger aperçu des applications que l'on peut en tirer lorsque l'on cherche à déterminer une fonction dont on ne peut avoir qu'une équation faisant uniquement intervenir sa dérivée, notamment en physique et même en chimie!

Nightmare
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par Nightmare » 20 Mar 2013, 21:31

Salut,

pour faire très grossier le calcul différentiel est la base de l'étude des variations d'une quantité. Pas besoin de d'expliquer en quoi ceci est essentiel en sciences.

upium666
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par upium666 » 29 Mai 2013, 21:04

Frednight a écrit:bonsoir

le premier exemple qui me vient à l'esprit est l'utilité déterminante du calcul différentiel dans ce qui s'appelle le calcul intégral.

Le calcul différentiel fait intervenir des quantités infinitésimales, c'est-à-dire aussi petites que l'on veut. Par exemple, dans le cadre de l'étude d'une fonction de , on notera la variation de l'ordonnée en fontion d'une tout petite variation .
Dans un certain cas concret spécifique, on peut admettre que . Le calcul infinitésimal respectant les règles de bases du calcul algébrique, on peut en outre faire passer à gauche, nous donnant alors , la dérivée de la fonction . Par ailleurs, le calcul intégral permet de retrouver l'équation de notre fonction à partir de cette équation différentielle : en faisant l'hypothèse que pour y=0 on a alors x=0.

ca n'est qu'un exemple mais ça donne un très léger aperçu des applications que l'on peut en tirer lorsque l'on cherche à déterminer une fonction dont on ne peut avoir qu'une équation faisant uniquement intervenir sa dérivée, notamment en physique et même en chimie!


Pourquoi, au lycée, étudie-t-on alors le calcul intégral et pas le calcul différentiel ? :doh:

Frednight
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par Frednight » 30 Mai 2013, 11:13

peut-être pour éviter de trop rentrer dans le détail et laisser ça aux cycles scientifiques supérieurs? je ne suis sûr de rien

Robic
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par Robic » 30 Mai 2013, 12:43

pourquoi les mathématiciens/physiciens y ont eu recours et quels en sont les utilités en Science ?


Le calcul différentiel a révolutionné l'humanité. C'est la découverte la plus importante depuis le feu.

J'exagère ? Pas sûr...

Newton a inventé le calcul différentiel pour sa théorie de la gravitation (Leibnitz l'a inventé indépendamment mais ne l'a pas appliqué). Sans calcul différentiel, pas de gravitation. C'est d'ailleurs l'outil mathématique qui manquait à Galilée.

Avec cet outil, Newton découvre que les lois de la nature - en tout cas la gravitation - obéissent à des équations différentielles. C'est révolutionnaire. Désormais plus rien ne sera comme avant.

Brusquement, de nombreux savants travaillent en maths et en physique. L'année où meurt Galilée, Newton naît : il n'y a donc pas une grande durée entre les deux. Pourtant Galilée a été condamné par l'inquisition - c'est encore le Moyen-Âge - alors que Newton et ses successeurs pourront travailler en toute quiétude - on a complètement changé d'époque.

Euler est le principal mathématicien qui a développé l'invention de Newton (et Leibnitz). Il en a déduit plein, plein, plein de choses. C'est le début de l'analyse et brusquement les maths prennent leur envol. Le 18è siècle est un siècle où se multiplient les découvertes, et c'est encore pire au 19è, puis au 20è.

Et c'est pareil en physique : une génération après la mort de Newton, on en est à calculer les perturbations entre les planètes, un siècle après on découvre Neptune par le calcul. Et la méthode de Newton (modéliser la nature par le calcul différentiel) est utilisée avec succès pour décrire l'électricité, puis le magnétisme (les quatre équations de Maxwelle sont des équations différentielles) et la thermodynamique, qui est tout simplement à la base de l'ère industrielle.

Au Moyen-Âge, les Arabes dominaient les mers, puis ça a été les Chinois. Mais leur science était empirique. Les Européens ont aussi fait de la navigation avec des sciences empiriques (les caravelles de Ch. Colomb étaient copiées sur les navires arabes). Mais à partir du 19è siècle, grâce à la science occidentale, qui n'est plus empirique mais mathématique, qui s'appuie sur la modélisation par des équations différentielles, à partir du 19è siècle on fabrique des navires en métal (cuirassiers), puis on fait voler des "plus lourd que l'air" (les avions) et l'automobile apparaît. Tout ça n'aurait pas pu apparaître avec la science empirique du Moyen-Âge.

Bref, l'invention du calcul différentiel a révolutionné la civilisation parce qu'elle a permis de décoder les lois de la nature (qui sont écrites dans le langage des équations différentielles) et, ce faisant, de la maîtriser (parce que ce type de modélisation permet la maîtrise de la nature, contrairement à la science empirique d'autrefois). C'est ainsi qu'est apparue l'ère industrielle avec sa technologie.

Pourquoi les Occidentaux ont-ils pris le dessus sur les Arabes et les Chinois (au point de coloniser des territoires auparavant contrôlés par ces deux civilisations, et de maîtriser les mers) alors qu'à la fin du Moyen-äge l'Europe était attardée par rapport à eux ? Grâce à la technologie, donc grâce à la science occidentale, donc grâce au calcul différentiel.

Joker62
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par Joker62 » 30 Mai 2013, 16:47

Robic ou l'art du Sophisme :D

 

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