Bonjour a tous, j'ai passé comme une partie d'entre vous mon bac. Pour ma part, Bac S option SI avec spé maths. Mais justement parlons spé maths. Le bac est terminé, mais par curiosité on peut encore s'y interesser pas vrai
Bref je viens de penser à une manière de trouver les nombres premiers les plus grands...et je me demande pourquoi cette technique, qui permettrait de trouver des nombres premiers a plus de 10 million de chiffres n'est pas utilisée... (clin d'oeil aux 100 000 USD offert à la découverte d'un de ces dit-nombres premiers).
Pour cela je suis parti d'une des démonstrations du caractère infini de la liste des nombres premiers. Jvais vous l'écrire (bon le bac est passé hein les erreurs splus grave :p)
Supposons que la liste des nombres premiers est finie (et qu'elle contient n nombres premiers).
Dans ce cas, on peut définir une suite de termes finie contenant les n nombres premiers.
Posons :
Avec la suite contenant tous les nombres premiers
Comme contient tous les nombres premiers, on aurait sp qui serait un nombre non premier.
On sait qu'un nombre est premier si il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à lui (cela découle du fait que tous les nombres peuvent être décomposables en un produit de facteurs premiers : pour vérifier le caractère premier d'un nombre il faut donc vérifier sa divisibilité avec tous les nombres premiers inférieurs à lui)
Utilisons un raisonnement par récurrence. Vérifions pour .
On a car
De la même manière, on a :
On peut réitérer ce raisonnement jusqu'à n.
On a donc pour tout
Donc il n'existe pas de décomposition de produit de facteur premiers (facteurs étant dans la liste pn).
( Donc est un nombre premier. : faux )
Il existe donc d'autres nombres premiers que ceux contenus dans la suite . Ce qui entre en contradiction avec la supposition initiale.
En raisonnant par l'absurde, il existe une infinité de nombre premier.
Voila pour la démonstration du cours (normalement exigible au bac donc j'espère pas avoir de questions la dessus (si je ne me suis pas planté) )
Mais d'après ce raisonnement pour avoir un nombre premier très grand, il suffit de multiplier tous les nombres premiers connus et d'ajouter 1.
Mais alors pourquoi n'est ce pas la technique utilisée ? D'après le raisonnement, une vérification n'est pas nécessaire : c'est dans la définissions même de ce nombre (dans la démonstration ) qu'est mis en place son caractère premier.
Alors pourquoi ces vérification énormes ? Ne suffirait-il pas d'effectuer ce calcul ?
Mais je comprends bien que cette technique met a part une quantité énorme de nombre premiers. En prenant uniquement les 4 premiers on a :
211 est bien premier (voir demonstration)
mais bien sur les nombres sont oubliés. Ainsi on a pas le nombre premier qui suit dans la liste, mais un nombre plus grand.
Mais cela n'est-il pas suffisant pour trouver le nombre premier très grand ?
On peut par exemple trouver un nombre premier à 12 chiffres très facilement :
Qui est donc premier.
Quelqu'un aurait-il une explication ?
EDIT : J'ai ptetre l'air bête a dire ca maintenant...mais le problème ne réside-t-il pas dans le fait que cette démonstration montre qu'il existe une décomposition de nombre premiers de ne contenant pas les termes de la suite supposée finie mais pas dans le fait que est premier ?
EDIT2 : c'est bien cela je crois... contre exemple :
cela montre que si on suppose que la suite des nombres premiers s'arrete à , on a encore et des nombres premiers (plus grands que ) mais pas necessairement que est premier...