Nombres Parfaits

[webnet]

Salut,je suis bloqué à un exo d'arithmétique:

On dit qu'un entier naturel est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres ( autres que lui même

1_ Vérifier que 6 et 28 sont parfaits Ca c'est bon

2_Vérifier que ces 2 nombres quevent s'écrire sous la forme Ca aussi c'est bon.

3_ a\ On va montrer que tout nombre s'écrivant sous cette forme est premier Soit p un nb premier et a le nombre
Quels sont ses diviseurs propres, calculer leur somme

La j'ai trouvé: et Quand on fait la somme je trouve Je ne sais pas si le résultat est bon...!


b\ on suppose que Exprimer la somme des divisuers propres de en fonction de n puis déduire que a est parfait

La je nais pas trouvé! comment faut il faire? :mur:


Merci de votre aide!

[armor92]

3_ a\ On va montrer que tout nombre s'écrivant sous cette forme est premier Soit p un nb premier et a le nombre
Quels sont ses diviseurs propres, calculer leur somme

La j'ai trouvé: et Quand on fait la somme je trouve Je ne sais pas si le résultat est bon...!

Il ne faut pas prendre parmi les diviseurs propres de a car c'est a lui même.

Somme diviseurs = 1 + 2 ... + + p + 2p + ... +
1 + 2 ... + = - 1
p + 2p + ... + = p( - 1)
Somme diviseurs = - 1 + p( - 1)
Somme diviseurs = OK avec ton résultat

[armor92]

3) b)
Si on suppose que est premier.

On applique ce qu'on a démontré au 3) a), la somme des diviseurs propres de a est :

On remplace p par sa valeur






On retrouve bien que la somme des diviseurs propres est égal à a donc a est parfait.

[fahr451]

3_ a\ On va montrer que tout nombre s'écrivant sous cette forme est premier

bonsoir de quelle forme parles tu ?

[webnet]

Oui c'est bon merci j'ai vu ou je m'étais trompé!

Pour fahr451: La forme c'est celle de la question 2 ( celle d'avant )!

[webnet]

Re bonjour! J'ai la suite de l'exo qui est assez compliquée!!!

a est pair. Montrer que l'on peut écrire a sous la forme

J'ai mis et donc a peut se mettre sous cette forme... (??)

soit s(a) le somme de ts les diviseurs positifs de a
Montrer que ( on pourra noter les diviseurs de b et exprimer les diviseurs de a en fonction de ceux de b)

La je cherche mais je bloque!

Aquelle condition sur s(a), a est il un nombre parfait?

Montrer que cette condition est équivalente à :

Voila merci de m'aider!!

[fahr451]

2_Vérifier que ces 2 nombres quevent s'écrire sous la forme 3_ a\ On va montrer que tout nombre s'écrivant sous cette forme est premier

comment un entier qui est le produit de deux entiers différents de 1 peut -il être premier?

quelque chose me dépasse.

[armor92]

Bonsoir,


Les diviseurs de a (y compris lui même) sont :


...







Pour que a soit parfait, il doit etre égal à la somme de ses diviseurs propres (diviseurs différent de lui même), c'est à dire :
a = s(a) - a
s(a) = 2a

Vu ce qu'on a vu précedemment, cette condition peut s'écrire :

[armor92]

comment un entier qui est le produit de deux entiers différents de 1 peut -il être premier?

quelque chose me dépasse.

Pour fahr451 :
je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé.
Il faut lire tout nombre pouvant s'écrire sous la forme est parfait et non premier

[fahr451]

ah merci bien , j'ai cru que le monde s 'écroulait, une formule pour obtenir des nombres premiers on en rêvait tous...

[webnet]

Merci Armor92, j'ai compris ou je bloquais!

Juste une dernière question:

Comment tu déduis de ca que est un diviseur de b?

Et de comment on déduis que b est premier?? et que b est égal à

Peut etre il faut faire un raisonnement par l absurde pour b premier???

Merci encore!

[armor92]

Bonsoir webnet,

De , on déduit facilement que s(b) - b est diviseur de b car b s'écrit (s(b)-b)*k ou k est un entier naturel.

On remarque k = > 1 car n >= 1, donc s(b) - b est un diviseur de b différent de b.

Faisons un raisonnement par l'absurde et supposons que b ne soit pas premier.
b a au moins un diviseur d différent de 1 et de b lui même.

s(b) >= b + 1 + d
s(b) - b >= 1 + d > 1

s(b) - b est donc un diviseur de b différent de 1 et différent de b lui même.
b a donc dans ce cas comme diviseur au moins 1, s(b) - b et b lui même.

On en déduit : s(b) >= 1 + s(b) - b + b
s(b) >= 1 + s(b) ce qui est évidemment impossible.

b est donc premier.
On en déduit s(b) = b + 1, donc s(b) - b = 1

L'égalité se transforme en :

[webnet]

C'est super sympa e m'avoir aidé, je te remercie beaucoup!!!!