Nombres de Mersenne

[mouton75]

Notre professeur de Spé Maths nous a donné un DM et je ne comprend vraiment pas.
Pouvez-vous m'aider et m'expliquer ?
L'énoncé est le suivant :

Les Nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N=(2^P)-1, avec p naturel.
a. Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1+a+...+a^(n-1)
(pour celui la je crois avoir compris qu'il fallait utiliser la somme d'une suite géometrique. le seul problème c'est que n est au moins égal à 2 donc ça ne colle pas )
b. Montrer que, si (a^n)-1 est un nombre premier alors a=2
c. Montrer que si n est composé alors (2^p)-1 est composé.
d. Montrer que si p est premier, alors (2^p)-1 est premier pour certaines valeurs de p, et composé pour d'autres valeurs.

Merci d'avance, et si vous pouviez aussi m'expliquer le terme "composé" parce que j'ai chercher je ne le trouve pas. Merci d'avance encore une fois.

[Sa Majesté]

a. Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1+a+...+a^(n-1)
(pour celui la je crois avoir compris qu'il fallait utiliser la somme d'une suite géometrique. le seul problème c'est que n est au moins égal à 2 donc ça ne colle pas )

Pourquoi ça ne collerait pas ?

[mouton75]

car ça voudrait dire que l'on a un suite de premier terme 1. et donc on aurait : a^0 + a^1 + ... a^n-1 or n ne peut pas être inferieur à deux.

[Sa Majesté]

Et alors ?
a^0, a^1, a^2, ..., a^(n-1) ne sont pas les termes d'une suite géométrique ?

[mouton75]

J'ai pas très bien compris...
ça veut dire que la réponse a est : (1-a^n)/(1-a) ?

[Sa Majesté]

Oui bien sûr

[mouton75]

Ah d'accord merci. Mais pourriez vous me donner une piste pour le b ?

[Sa Majesté]

Il faut utiliser la question précédente

[mouton75]

J'ai trouvé la reponse de la b et j'essaie de faire la c depuis 1h, j'y arrive vraiment pas, quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[Sa Majesté]

Si p est composé alors il peut s'écrire sous la forme p=rs avec r et s différents de 1
Alors