Nombres de Fermat - Théorème de Goldbach

[MathsetZinc]

Bonjour à tous!

J'ai cet exercice à faire sur les nombres de Fermat et sur le théorème de Goldbach.

Voici l'exercice: https://zupimages.net/viewer.php?id=23/20/uyg3.jpeg

Tout allait bien dans les parties A, B et C, quand tout à coup je n'ai plus rien compris de la partie D...

En effet: il est dit dans la question 1 de la partie D "expliquer pourquoi...": doit-on ainsi le faire de façon plus logique, ou alors de façon mathématique?
De plus, dans tous les cas, je ne vois pas comment procéder.. En effet: Faut-il utiliser les questions des parties précédentes pour arriver à un tel résultat?
Enfin, la question 2 étant une conséquence de la question 1, je ne vois donc pas non plus comment y répondre...

S'il est possible de m'aider, cela serait super!

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Déjà, une remarque culturelle : contrairement à ce qu'affirme l'énoncé, les nombres de Fermat ne sont pas des nombres de Mersenne vu que ces derniers sont ceux de la forme (c.f. Wiki. par exemple)

Sinon, concernant la question 1) du D), il n'y a quasiment rien à dire, il suffit de comprendre le sens du symbole donc au niveau rédaction, il faut juste mettre un bout de baratin pour montrer que tu as compris.

[MathsetZinc]

Ah oui! tu as raison! Cela est subtil :)

Est-ce ceci?:







Cependant, je ne parviens pas à déduire quelque chose de ce résultat: comment est-il possible de déduire à partir de cela que tout diviseur commun à Fn et Fm est aussi un diviseur de 2, ainsi que le théorème de Goldbach?

Merci!

[Ben314]

Oui, c'est ça et avec des couleurs c'est nickel....
Et ce que tu as écrit, ça peut s'écrire (un gros truc) donc si un entier naturel divise à la fois et alors il divise 2 (donc c'est 1 ou 2) : si tu prend par exemple deux nombres tout les deux divisibles par 6, c'est bien clair que leur somme et leur différence sera aussi divisible par 6.

[MathsetZinc]

Re!

Alors,

Soit d un diviseur commun à Fn et Fm

d | Fn
d | Fm

Donc d divise toute combinaison linéaire de Fn et Fm

On a : d | aFn + bFm

or, 2 est une combinaison linéaire de Fn et Fm: celui-ci s'écrit en effet aFn + bFm avec a=1 et b= la grosse expression

ainsi, d |2

Or, 2 admet pour seuls diviseurs 1 et 2

et Fm et Fn ne pouvant être pair (ils finissent toujours par 7), alors PGCD(2;Fm)=PGCD(2;Fn)=PGCD(Fm;Fn)=1 donc Fm et Fn sont premiers entre-eux

On en déduit le théorème de Goldbach:

Deux nombres de fermat sont bien premiers entre eux.

Est-ce cela?

Merci Beaucoup!

[Ben314]

oui, c'est bon.