DM nombres dérivés

[Tania07]

Bonjour,
J'ai un dm de maths pour la rentrée et je n'arrive pas à cet exo :

Soit f la fonction définie sur [0 ; +infini[ par f(x) = √x
1. Soit h un réel non nul, A l'aide d'une identité remarquable, développer et simplifier l'expression (√(2+h) - √2)(√(2+h)+√2).
2. A l'aide de la question 1, exprimer le taux de variation de f en 2 en fonction de h.
3. En déduire que f est dérivable en 2 et donner la valeur de f'(2).
4. De manière analogue, démontrer que f est dérivable en tout réel a strictement positif et exprimer f'(a) en fonction de a avec a+h > 0.
5. Justifier que f n'est pas dérivable en 0.

Ce que j'ai réussi à faire :

1. (√(2+h) - √2)x(√(2+h)+√2) = (√(2+h))² - (√2)² = (2+h)-2 et là je ne sait pas si je peux dire = h.
2. Taux de variation = f(a+h)-f(a)/h = √(2+h) - √2/h et je suis bloquée ici...

Merci d'avance de m'aider

[vam]

Bonjour
1) oui, bien sûr que cela vaut h
2) multiplie haut et bas de ta fraction par (√(2+h)+√2)
et sers toi de ta 1re question

[Tania07]

Bonjour,
Merci cela m'a débloqué et je trouve au final 1/2 √2 en fesant la limite pour la question 2 et pour la question 3 je dis que f est dérivable en 2 car la limite est finie et on a f'(2) = 1/2 √2.
Pour la question 5 je pense pouvoir m'en tirer mais pour la question 4 je patauge...

[vam]

pour la 4)
tu refais exactement la même chose que pour 1 et 2) mais à la place de 2 tu gardes a (que tu ne remplaces donc pas par 2)
et à la fin tu vas trouver un f'(a) qui bien sûr va dépendre de a
tu essaies ?

[Tania07]

Eh bien d'après le 1 ça donne f'(a) = 1/2√a. Est ce que du coup a+h > 0 ? Je suppose que oui parce que la limite que j'ai utilisé est quand h tend vers 0.

[vam]

oui

oui, tu ne peux faire tendre h vers 0 que de telle manière que a+h reste positif
et donc cette limite n'existe que si
voilà

[Tania07]

D'accord merci beaucoup
Mon exercice est terminé et j'ai tout compris merci de m'avoir aidé, je galerais car parfois l'énoncé de la question n'étais pas très clair.

[vam]

Je t'en prie
Bonne continuation à toi